应用参数法求解竞赛题

廉慧

【摘 要】  圆与椭圆的参数方程是在数学竞赛具有重要应用的内容，二者的应用价值在于：

①通过参数简明地表示曲线上任意一点的坐标;

②将曲线的有关计算问题转化为三角问题，从而运用三角函数性质及变换公式帮助我们求解诸如最值、参数取值范围等问题.这就是求解数学竞赛试题的“参数法”.

【关键词】  参数法;求解;竞赛题

下面举例说明参数法在求解数学竞赛试题中的应用.

1 求函数的值域

例1   f（x）=  4x+7 x+3  +  5x+20 x+3  的定义域是 ，值域是 .  （第31届希望杯高一1试）

解  由  4x+7 x+3 ≥0， 5x+20 x+3 ≥0， 得

x≤-4或x≥- 7 4 .

故f（x）的定义域是（-∞，-4]∪ - 7 4 ，+∞ .

由  4x+7 x+3 =4- 5 x+3 ， 5x+20 x+3 =5+ 5 x+3 ，

所以  4x+7 x+3 + 5x+20 x+3 =9，

即    4x+7 x+3    2+   5x+20 x+3    2=9.

令  4x+7 x+3  =3 cos θ，  5x+20 x+3  =3 sin θ，

其中 θ∈ 0， π 2  ，且 cos θ≠ 2 3 ，

因为若 cos θ= 2 3 ，则 5 x+3 =0，不成立，

所以 y =  4x+7 x+3  +  5x+20 x+3

=3 cos θ+3 sin θ=3 2  sin  θ+ π 4  .

因为 θ∈ 0， π 2  ，

所以 θ+ π 4 ∈  π 4 ， 3π 4  ，

于是  sin  θ+ π 4  ∈   2  2 ，1 ，

所以 y∈[3，3 2 ]，

故 f（x）的值域是[3，3 2 ].

注  本題在求函数的值域时，分别将 4x+7 x+3 ， 5x+20 x+3 分离常数后得到   4x+7 x+3    2+   5x+20 x+3    2=9，从中挖掘并运用圆的参数方程，将问题转化为三角函数来求解，十分巧妙.

圆x 2+y 2=r 2 （r>0） 的参数方程 x=r cos θy=r sin θ   （θ为参数，r>0）  中，参数θ表示旋转角，这是其几何意义.一般地，圆（x-a） 2+（y-b） 2=r 2  （r>0）  的参数方程为 x=a+r cos θy=b+r sin θ  （θ为参数，r>0） .

2 求参数的取值范围

例2   已知 x 2 4 + y 2 3 =1上的任意一点P（x，y）可使x+2y+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

（ A ）（-∞，-4].  （ B ）[-4，+∞）.

（ C ）（-∞，4]. （ D ）[4，+∞）.  （第22届希望杯高二1试）

解  因为P（x，y）是椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1上的任意一点，所以

设P（2 cos θ， 3  sin θ），

则由x+2y+m≥0恒成立，得

2 cos θ+2 3  sin θ+m≥0，

即m≥-（2 cos θ+2 3  sin θ）=-4 sin  θ+ π 6  恒成立，

所以 m≥ -4 sin  θ+ π 6      max  .

因为  -4 sin  θ+ π 6      max  ≥4，

所以 m≥4，故选（ D ）.

注  椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0） 的参数方程为 x=a cos θy=b sin θ  （θ为参数） ，椭圆 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b>0） 的参数方程为 x=b cos θy=a sin θ  （θ为参数） .本题将点P的坐标用椭圆的参数方程表示，代入不等式后分离出参数m，利用三角代换转化为最值求解的.

3 求最值

例3   在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 9 + y 2 10 =1，F為C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 .  （2017年全国高中联赛）

解  易知A（3，0），F（0，1）.

设P的坐标是（3 cos θ， 10  sin θ），θ∈ 0， π 2  ，

则 S  OAPF =S  △OAP +S  △OFP

= 1 2 ×3× 10  sin θ+ 1 2 ×1×3 cos θ

= 3 2 （ 10  sin θ+ cos θ）

= 3 11  2  sin （θ+φ），

其中  tan φ= 1  10  .

所以当 tan θ= 10 时，四边形OAPF的面积的最大值为 3 11  2 .

注  本题将点P的坐标用椭圆的参数方程表示，将四边形分割为两个三角形后，面积表示为三角函数形式，利用辅助角法和正弦函数的有界性求得最值，充分体现了参数法解题的优越性.

例4   如图1所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ： x 2 2 +y 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2.    图1 设P是第一象限内Γ上一点，PF 1、PF 2的延长线分别交Γ于Q 1、Q 2.设r 1、r 2分别为△PF 1Q 2、△PF 2Q 1的内切圆半径.求r 1-r 2的最大值.  （2021年全国高中联赛）

解  易知F 1（-1，0），F 2（1，0）.

设P（x 0，y 0），Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），

由条件知 x 0>0，y 0>0，y 1<0，y 2<0，

由椭圆定义，得

|PF 1|+|PF 2| =|Q 1F 1|+|Q 1F 2|

=|Q 2F 1|+|Q 2F 2|=2 2 ，

所以△PF 1Q 2与△PF 2Q 1的周长均为l=4 2 .

由于S  △PF 1Q 2  = 1 2 （|PF 1|+|F 1Q 2|+|Q 2P|）r 1

= 1 2 lr 1=2 2 r 1，

而 S  △PF 1Q 2 =S  △PF 1F 2 +S  △F 1F 2Q 2

= 1 2 |F 1F 2|y 0+ 1 2 |F 1F 2|（-y 2）

= 1 2 |F 1F 2|（y 0-y 2），

所以 2 2 r 1= 1 2 |F 1F 2|（y 0-y 2）.

又 |F 1F 2|=2，

因此 r 1= y 0-y 2 2 2  ，

同理 r 2= y 0-y 1 2 2  ，

所以 r 1-r 2= y 1-y 2 2 2  .

以下先求y 1-y 2.

因为 P是第一象限内Γ上一點，

可设 P（ 2  cos α， sin α），0<α< π 2 ，

直线PF 1的方程为y=  sin α  2  cos α+1 （x+1），

所以 x= （ 2  cos α+1）y  sin α -1，

代入 x 2 2 +y 2=1整理得

（ 2  cos α+1） 2 2 sin 2 α +1 y 2-  2  cos α+1  sin α y- 1 2 =0，

两边乘以2 sin 2 α，并注意到2 cos 2 α+2 sin 2 α=2，

可知 （3+2 2  cos α）y 2-

2（ 2  cos α+1） sin αy- sin 2 α=0，

该方程的两根为y 0= sin α，y 1，

由一元二次方程根与系数的关系得

y 0y 1=- y  2  0 3+2 2  cos α ，

于是 y 1=- y 0 3+2 2  cos α =-  sin α 3+2 2  cos α ，

同理 y 2=-  sin α 3-2 2  cos α ，

因此 y 1-y 2 =-  sin α 3+2 2  cos α +  sin α 3-2 2  cos α

= 4 2  cos α sin α 9-4（ 2  cos α） 2 = 4 2  cos α sin α 9-8 cos  2α ，

于是 r 1-r 2 = y 1-y 2 2 2  = 2 cos α sin α 9-8 cos  2α

= 2 cos α sin α 9 sin  2α+ cos  2α

≤ 2 cos α sin α 2 9 sin 2 α cos  2α  = 1 3 ，

当且仅当9 sin 2 α= cos  2α，即 cos α= 3 10  10 ， sin α=  10  10 时取等号，相应地有x 0= 3 5  5 ，y 0=  10  10 ，

所以 r 1-r 2的最大值为 1 3 .

注  本题在设出点的坐标的基础上，利用椭圆定义得到所研究的两个三角形的周长后，再利用“分割”三角形和“等面积”法将r 1-r 2表示为两点Q 1，Q 2纵坐标的关系式 y 1-y 2 2 2  ，把问题转化为研究y 1-y 2的最小值.这时，运用椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0） 的参数方程 x=a cos θy=b sin θ  （θ为参数） .又将点P的坐标设为角的三角函数形式，设出直线PF 1的方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，依题意可知y 0，y 1是该方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系用点P的坐标表示出y 1，同理表示出y 2，得到y 1-y 2= 4 2  cos α sin α 9-8 cos  2α ，再进一步利用三角恒等变形和均值不等式最终求得r 1-r 2的最大值.

4 求轨迹

例5   如图2，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且 |OB| =|OD|=6.

（1）证明：|OA|·|OC|为定值;

（2）当点A在半圆M： （x-2） 2 +y 2=4 （2≤x≤4） 上运动时，求点C的轨迹.  （2012年全国高中联赛一试）

解  （1）定值为20，过程略.

（2）设C（x，y），A（2+2 cos θ，2 sin θ），

其中 θ=∠xMA （- π 2 ≤θ≤ π 2 ） ，

则 ∠xOC= θ 2 .

又 |OA| 2 =（2+2 cos θ） 2+（2 sin θ） 2

=8（1+ cos θ）=16 cos  2 θ 2 ，

所以 |OA|=4 cos  θ 2 .

由（1）的结论|OA|·|OC|=2，得

4 cos  θ 2 ·|OC|=20，

所以 |OC| cos  θ 2 =5，

则 x=|OC| cos  θ 2 =5，

所以 y=|OC| sin  θ 2 =5 tan  θ 2 ∈[-5，5]，

故點C的轨迹是一条线段，其线段的两个端点的坐标分别为（5，5）和（5，-5）.

注  本题（2）将点A的坐标用圆的参数方程表示，运用两点间的距离公式和三角恒等变换用三角函数表示出|OA|，然后结合（1）的结论求得 |OC|· cos  θ 2  后，得到x，y的值或范围，从而确定点C的轨迹，运用参数法是解题的关键.