初中数学“最短路径问题”分类探究

武芳

【摘要】考试中，学生看到最短路径这一问题时，常会存在较为恐惧的心理，计算过程中更是常常出现一些错误.本文系统性的为学生总结相关题型及解题方法，能够有效提高学生的解题效率.

【关键词】最短路径;解题方法;解题效率

1 平面几何中的最短路径问题

在“最短路径问题”的题目中，与平面几何知识进行结合考察是最为常见的一类.这一类问题往往是给定一个平面图形，在此基础上，存在动点，求动点到某点的最短距离.

在这类问题的解答中，学生需要掌握平面图形的一系列问题，因为其最短路径的考察往往是与几何知识进行紧密联系的，在此基础上确定距离最短时动点所在的位置，而后通过准确的计算便可有效地解决问题.

例1 如图1所示，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P、M分别为AC、AB上的动点，连接 PE，PM，则 PE + PM的最小值为（）.

（A）6.（B）33.

（C）26.（D）4.5.

本题作为将动点问题与平面几何进行结合求最值的问题，是平面几何知识考察中常见的一种方式，在解答这一类型的题目时，一定要准确分析图形的特点，找出所求距离所在的位置，而后进行计算.

通过分析可以发现，本题的最终目的是在线段AC之上找到一点P，使PM+PE的值最小，同时，M点为动点，这增加了学生的解题难度.此时，就需要学生结合外部菱形的性质进行思考，AC作为菱形的一条对称轴，此时，无论M点运动到任意位置，都可以在AD边上找到对称的点，如此，便可以根据菱形的相关定理展开计算.

解 已知四边形为菱形，其中AC=62，BD=6，那么菱形的面积S=12AC×BD=182.

由于菱形的两条对角线互相垂直且平分，可以得到菱形的边长

AB=BC=CD=AD=32+（32）2=33，

此时，当ME′为线段AB与CD之间的距离时，PE+PM的值最小.

根据菱形的面积公式可以得到DC×ME′=182，其中CD=33，则ME′=26，即PE + PM的最小值为26，正确答案选C.

2 立体几何中的最短路径问题

在对立体几何知识的考察中，也经常会考察最短距离的问题，相较于平面几何，这类问题往往伴随着正方体、圆柱体等立体图形，给学生的观察及思考带来了一定的挑战性，问题的难度有所提升，更加重视对学生空间思维能力及计算能力的考察.需要学生将其逐步转变为平面几何中最短距离的求解问题，在此基础上进一步解答相关问题.

例2 如图2所示，在一高为14cm、底部周长32cm的圆柱形中，现在距离杯底5cm内部有一点B，杯壁外距离顶部3cm处有一点A，则从A到B最短距离为多少cm？

解 如图3所示，作点A关于直线EF的对称点A′，此时，根据题意可得

AC+CB=A′C+CB=A′B，

AE=A′E=DF=3cm，

A′D=EF=16cm，

BF=14-5=9cm，

DB=DF+FB=3+9=12cm.

在Rt△A′BD中，由勾股定理可得，A′B=A′D2+DB2=20cm，

所以，蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为20cm.

3 函数中的最短路径问题

在考试中，一般会将函数与其他知识进行综合考查，以考查学生的综合能力，最短距离问题则是函数最为容易考查的一点.

在这类试题中，一般伴随着较为复杂的图象，解题时首先需要学生掌握函数相关的各种基础知识，其次充分挖掘题目中给出的关系，找出对应的关系，而后进行计算.

例3 已知二次函数y=x2-2mx+m2-1，当m=2时，该抛物线与 y 轴交于点C，顶点为 D，此时x轴上是否存在一点P，使PC+PD最短？

解 根据题意，在m =2时，y=x2-2mx+m2-1变为y=x2-4x+3，最终化简可以得到y=（x-2）2-1，

当y=0时，x=3，所以C点坐标为（0，3），顶点D坐标为（2，-1）.

此时，就可以根据关系式画出函数图象如图4，通过观察可以发现，C、D两点位于x轴的两侧，此时连接C、D两点，其PC+PD距离最短，与x轴的交点即为P点.

连接CD，并且过点D作垂直于y軸的垂线，使DE⊥y轴，

根据计算可以得到，CO=3，CE=4，ED=2，

并且，△CED与△COP相似，

因此COCE=OPED，

将上述数字代入可以得到OP=32，

所以此时P点的坐标即为（32，0）.

4 结语

为了解决学生们存在的问题，本文根据实际情况，对相关知识进行了系统性的总结，将最短路径与平面图形、立体图形及函数进行结合的题型进行了系统的分析与讲解，以便于学生掌握相关知识.