高考中曲线切线问题的解法探究

徐诗佳

引例.（2022年新高考全国1卷第15题）

若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________.

解析：∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，

点评：本题考查了曲线的切线问题其实质是导数的几何意义，其常规思路为：先设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根（此处可作两条切线等价转化方程有两解），求得a的取值范围.

针对此题我们来进一步探究求曲线y=f（x）的切线方程的类型及方法：

1. 求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.

2. 若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A的横坐标x0，因为x0可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标f（x0），代入到导函数中可得到切线的斜率f′（x0）=k，從而一点一斜率，切线即可求. 所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计地把它求解出来.

3. 求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可;另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标（x0，y0），再考虑利用条件解出核心要素x0，进而转化成第一类问题.

4. 在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用？驻=0求出参数值进而解出切线方程. 解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通. 若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解.

5. 在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点. 如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.

下面我们通过几道例题，从命题的多维度，多层次，多方法进行分析与求解.

例1. 函数f（x）=ex（3x-2）在x=1处的切线方程为_________.

解析：∵ f（1）=e，∴ 切点坐标为（1，e）.

f′（x）=3ex+（3x-2）ex=（3x+1）ex .

∴ f′（1）=4e，∴ 切线方程为：y-e=4e（x-1）？圯y=4ex-3e.

点评：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用.

例2. 已知函数f（x）=lnx+2x，则：

（1）在曲线f（x）上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x-y-2=0平行？

（2）在曲线f（x）上是否存在一点，在该点处的切线与直线x-y-3=0垂直？

不存在一点，使得该点处的切线与直线x-y-3=0垂直.

点评：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求. 两直线平行，垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件.

（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域.在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内.

责任编辑 徐国坚