有理函数不定积分方法的探究

李鑫 王丽瑶

[摘           要]  任何多项式函数在复数域内都可分解为若干个一次项因式的乘积形式，考虑到一次项因式可能会出现重因式情况，研究从没有重因式和有重因式两种情况进行分析，对于每种情况都给出一种法则系统地进行求解，给出具体步骤、具体证明以及具体的计算公式，对于进一步学习有理函数不定积分有一定的实际意义。

[关    键   词]  有理函数;不定积分;假分式;真分式

[中图分类号]  G642                    [文献标志码]  A                  [文章编号]  2096-0603（2022）28-0058-03

一、引言

有理函数的不定积分求解是一个重难点，有像其他类型函数得积分（无理函数积分和三角函数积分则可以通过根式代换、三角代换、万能代换、欧拉代换等求解），国内学者对有理函数的积分也有相关的研究。

有理函数的积分形式灵活多样，对有理函数的积分方法为先将有理积分假分式化成真分式，把真分式进行拆分，不能进行拆分的，分子进行配方，便能更好地掌握有理函数的积分方法。有理函数不定积分的求解具有理论和现实意义，采用传统的待定系数法求解次数较高的有理函数不定积分所需要的计算量较大，并且容易出错。有理函数不定积分是高等数学的重要教学内容，要提出一种应用综合除法解决一类有理函数不定积分的方法，并给出实例。国内学者张燕艳给出真分式不定积分的几个公式，利用带余除法和待定系数法将分式有理函数拆分为多项式与几个真分式之和，再结合真分式不定积分公式，求出有理函数的不定积分，可结合复变函数留数理论较方便地求出结果。有理函数有真分式和假分式两种，通过带余除法和待定系数法对假分式进行分解，可以化成整式与真分式的和，给出真分式不定积分的公式，就能求得有理函数的不定积分，再结合复变函数留数理论来解决有理函数反常积分的求法。国内学者刘新文的文章阐述了求有理函数不定积分的指导思想和重要应用，详细而系统地论述了有理函数的不定积分的求法，给出了解题步骤，并推导出有理函数的不定积分的递推公式，对于系统学习和掌握有理函数不定积分的求法有一定的实际意义。留数的思想可在计算有理函数积分时用于确定待定系数，这种确定待定系数的留数法适用于一切有理函数的积分。

高等数学教材中有介绍待定系数法求解，但是对于待定系数法来说，需要求解线性方程组，分母因式多的话，会导致求解过程很麻烦。刘玉玲学者在《留数法在有理函数积分中的应用》中提到对于有理函数不定积分的研究，使用留数法求解是很不错的方法，计算过程也相对简单，但是对于出现重因式的情况时，也只是使用待定系数方法结合留数法进行求解，其计算程度也是比较麻烦的。本文将有理函数分成两种情况（没有重因式和有重因式），针对每种情况都介绍一种方法求解有理函数的积分，给出具体公式步骤以及证明，如遇到特殊情况利用复变函数的知识加以解释，希望能对读者有一定的帮助和借鉴。

二、预备知识

如前所说，初等函数的原函数未必是初等函数，我们将原函数为非初等函数的初等函数称为不可积，就是说它们的不定积分是非初等函数;相反，对于原函数为初等函数的初等函数，则称它们是可积的。

已经证明，有理函数的原函数一定是初等函数，并且可以通过展开为多项式与部分分式来求积分，这时部分分式的分子中系数可以通过待定系数法求解。本文我们讨论一种新的求解方法，相对待定系数法而言，此方法更加快速便捷。

有理函数的不定积分实际上就是由有理函数与反正切函数以及对数函数形式组合成，当我们考虑复数域时，只要能将反正切函数的复变函数形式表示出来就可以在复数域内进行求解（对数函数可以由一次因式倒数求积分得到）。

五、总结与展望

根据法则一和法则二可针对一切有理函数积分的求解，本文不再一一列举描述，从上面的四个例子可以看出，若一次因式中出现复数形式，那么它们所对应的分子系数互为共轭复数，若出现重因式，即可以使用求导来进行计算分子系数，也节省了计算量。

考虑到有理函数的不定积分其结果是由有理函数和对数型函数以及反正切函数组合成的。本文则针对有理函数不定积分进行求解，相比于待定系数法而言既节省计算量而且分子系数求解比较快，结合反正切函数的复变函数形式，就可以做到求解任何有理函数的不定积分。

参考文献：

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编辑 司 楠

①基金项目：黑龙江工业学院校级课题“应用型人才培养目标下的高校数学类课程教学改革的研究”。

作者简介：李鑫（1991—），男，汉族，黑龙江鸡西人，硕士研究生，助教，研究方向：應用数学。

王丽瑶（1991—），女，汉族，河北秦皇岛人，硕士研究生，助教，研究方向：控制论。