几何画板在高职基本初等函数性质教学中的应用

应希源 萨彬含

[摘           要]  基本初等函数是高职高等数学的基础，介绍了基于几何画板的基本初等函数性质的动态演示方法，便于学生总结、掌握基本初等函数的性质，并对部分函数性质引入口诀，便于学生记忆，化抽象为形象。旨在让高职学生从形的角度直观认识、理解基本初等函数，让其亲身经历知识的形成过程，从而更好地理解、掌握、应用知识，培养学生数形结合的能力。

[关    键   词]  基本初等函数;几何画板;教学;应用

[中图分类号]  G712                    [文献标志码]  A                  [文章编号]  2096-0603（2022）30-0037-03

一、引言

基本初等函数一般包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，基本初等函数图像及性质是高等数学的基础。大部分高职学生的认知特点是形象思维优于逻辑思维，习惯于在具体的实践场景中认知和学习，不喜欢枯燥、乏味的知识讲解[1]。部分学生不能将“数”和“形”有效联系起来，从而很难达到利用所学知识解决实际问题的能力要求。几何画板软件是一款优秀的数学软件，具有作图方便、快捷的特点。学者高圣洁[2]借助几何画板以指数函数为例，引导学生快速作出指数函数图像，观察指数函数的图像随底数a的变化，得出指数函数的性质。学者曹斌[3]通过几何画板动态演示了幂函数图像的变化规律。本文在此基础上，介绍了基于几何画板的基本初等函数性质的动态演示方法，通过演示引导学生找出基本初等函数的性质，并对部分函数性质引入口诀以便记忆，化抽象为形象，旨在让高职学生从形的角度直观认识、理解基本初等函数，培养学生数形结合的能力。

二、利用几何画板探究基本初等函数的图像及性质

（一）常数函数

常数函数形式为f（x）=C，x∈（-∞，+∞），其中C为常数[4]。在几何画板中依次选择“数据”“新建参数”，新建參数t1=1.00，选择“绘图”“绘制新函数”，选中已建立的参数t1=1.00，在直角坐标系中便绘制出f（x）=1.00的图像，任意改变参数t1值，便可得到相应的常数函数。通过常数函数图像引导学生得出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。常数函数随着自变量x的变化，函数值f（x）始终不变，即常数函数不增不减。常数函数定义域关于原点对称，且对于任一自变量x，均可使得f（-x）=f（x）成立，即常数函数为关于y轴对称的偶函数。常数函数存在无穷多个不为0的数T使得f（x+T）=f（x）恒成立，即常数函数为周期函数但没有最小正周期。常数函数存在一个正整数C，对于任一变量x，总有f（x）≤C，即常数函数在定义域内为有界函数。

（二）幂函数

幂函数的形式为f（x）=xn（n为实常数）。利用几何画板可直接绘制幂函数图像，通过改变n值重复绘图便可得到幂函数随n变化的函数性质，但对于高职学生，该方法不直观，部分学生因找不出规律而产生挫败感，因此通过动画找规律比直接看图找规律容易。动态演示幂函数单调性的步骤有：（1）建立可任意赋值的参数n，依次选择“数据”“新建参数”命令新建参数n;（2）建立演示启停按钮，依次选择“数据”“新建参数”命令新建参数x，选中参数x再依次选择“编辑”“操作类按钮”“动画”，便建立了可控制启停的按钮;（3）绘制点，点的横纵标选择参数x，纵坐标“xn”通过“计算”获得，依次选择“绘图”“绘制点”，便可绘制出幂函数的一个点，此时单击“启停按钮”，绘制的点即按照幂函数的轨迹运动;（4）设置追踪点，分别找出绘制点在x轴、y轴的投影点，选择“追踪绘制的点”，此时单击“启停按钮”后便可直观看出3个点的运动情况，当改变参数n时，之前的运动轨迹还未擦除，会影响实验效果，因此还需设置擦除轨迹按钮;（5）设置“擦除轨迹”按钮，依次选择“数据”“新建参数”建立参数，选中参数依次选择“编辑”“操作类按钮”“隐藏/显示”建立按钮，重复上述操作再建立一个按钮，同时选中两个按钮，依次选择“编辑”“操作类按钮”“系列”，将其中一个按钮隐藏，选中另一个按钮右键依次选择“属性”“系列按钮”“勾选清除所有追踪轨迹”，此时便建立了“擦除轨迹”按钮，单击时便可将所有追踪轨迹擦除。经过以上步骤后便可进行实验，任意给定一个参数n，点击“启停按钮”便可得到点的运动轨迹，根据轨迹便可直观判断幂函数的单调性，图1为实验过程中幂函数单调性动态演示截图。

学生通过改变参数n观看几何画板动态演示后，可得出幂函数定义域与n有关，图像总过点（1，1）。幂函数单调性为：当n大于0时在定义域内为单调增函数，当n小于0时在定义域内为单调减函数，由此引导学生得出幂函数单调性口诀“大于0时增函数，小于0时减函数;大于1时增长快，（0，1）间增长慢”，便于学生记忆。

幂函数中的指数n为实常数，当n为有理数时，n可化为两个整数之比，利用几何画板制作幂函数奇偶性演示步骤为：（1）新建分子、分母、自变量x三个参数，实验可对新建参数赋值，用于引导学生找出n与幂函数奇偶性的规律，在几何画板中依次选择“数据”“新建参数”，分别创建“分子”“分母”“x”可赋值的参数;（2）计算幂函数的实常数n，依次选择“数据”“计算”“分子/分母”便可计算出n值;（3）绘制幂函数f（x）=xn图像;（4）根据自变量x计算f（-x）、f（x）值，用于总结奇偶性的规律。图2为幂函数奇偶性探究实验的部分截图。

学生通过几何画板演示后，可得出幂函数单调性为：（1）当分子、分母都为奇数时，幂函数只有在第一象限有图像，此时为非奇非偶函数;（2）当分子、分母都为奇数时，幂函数为奇函数，图像关于原点对称;（3）当分子为偶函数时，幂函数为偶函数，图像关于y轴对称。由此引导及学生得出幂函数奇偶性口诀“子单母偶孤单单，子单母单奇函数，子偶偶函数”，便于学生记忆。

（三）指数函数

指数函数形式为f（x）=ax（a>0，且a≠1）。利用几何画板设计指数函数单调性动态演示实验步骤与设计幂函数单调性动态演示步骤相同，学生通过改变参数a观看几何画板动态演示后，可得出指数函数定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）。单调性规律为：当a大于1时在定义域内为单调增函数，当a在（0，1）时在定义域内为单调减函数。由此引导学生得出指数函数单调性口诀“指数函数很简单，图像恒过（0，1）点，a大1时单调增，（0，1）之间单调减”，便于学生记忆。

为探究同一自变量x对应的函数值随参数a的变化关系，利用几何画板设计动态演示步骤为：（1）建立参数a;（2）选中参数a建立启停按钮;（3）绘制函数，选中绘制曲线，右键选择“追踪函数图像”，点击“启停按钮”便可得到随参数a变化的动态函数图像。学生通过动态演示，可得出如下特性：（1）当a∈（0，1），x∈（-∞，0]时，a越大，同一自变量x对应的函数值越小;（2）当a∈（0，1），x∈（0，+∞）时，a越大，同一自变量x对应的函数值越大;（3）当a>1，x∈（-∞，0]时，a越大，同一自变量x对应的函数值越小;（4）当a>1，x∈（0，+∞）时，a越大，同一自变量x对应的函数值越大;（5）当a∈（0，1）时，随着a逐渐增大，相同Δa对应的Δf（x）越大;（6）当a>1时，随着a逐渐增大，相同Δa对应的Δf（x）越小。

（四）对数函数

对数函数形式为f（x）=logax（a>0，且a≠1）。利用几何画板设计对数函数单调性动态演示实验步骤与设计幂函数单调性动态演示步骤相同，学生通过改变参数a观看几何画板动态演示后，可得出对数函数定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）。单调性规律为：当a大于1时对数函数在定义域内为单调增函数，当a在（0，1）时对数函数在定义域内为单调减函数。由此引导学生得出指数函数单调性口诀“对数函数很简单，图像恒过（1，0）点，a大1时单调增，（0，1）之间单调减”，便于学生记忆。

（五）三角函数

以正弦、余弦函数为例演示有界性和周期性演示步骤为：（1）将“角度”设为“弧度”;（2）以（-1，0）为圆心绘制单位圆;（3）绘制2个动态点，在单位圆上绘制点A，依次选择原点、圆曲线、A点构造弧OA，选中弧OA后进行度量，再选择“数据”“计算”，计算出正弦值、余弦值，再根据弧度值及正弦、余弦值绘制点B;（4）选中点B，右键选择“追踪绘制的点”，此时拖动点A便可绘制出相应的正弦、余弦曲线。学生通过几何画板动态演示后，可得出正弦、余弦函数值域为[-1，1]。当点A围绕单位圆逆时针转动1圈后，正弦函数点B由原点运动到点（2π，0），余弦函数由点（0，1）运动到点（2π，1），也即正弦、余弦函数的最小正周期均为2π。另外，在演示过程中，正弦、余弦函数图像始终在直线y=1与y=-1之间，也即正弦、余弦函数均为有界函数，上界、下界分别为1、-1。图3为正弦、余弦函数周期性及有界性演示截图。

图3 正弦、余弦函数周期性及有界性演示截图

利用几何画板设计正弦、余弦函数奇偶性演示步骤为：（1）绘图，分别绘制正弦函数、余弦函数图像;（2）取点，在函数图像上任取一点A，右键读取点A的横坐标、纵坐标，修改A点纵坐标标签为f（x）。依次选择“数据”“计算”，计算出-xA和sin（-xA），并以（xA，sin（-xA））为坐标在图形上绘制点B，修改sin（-xA）标签为f（-x）;（3）建立动画“启停”按钮，选择点A，右键依次单击“编辑”“操作类按钮”“动画”，修改“动画点”标签为“启停”，此时，单击“启停”按钮，观察xA与xB、f（x）与f（-x）两对值的变化，便可得出函数的奇偶性。学生通过几何画板动态演示后，可得出如下结论，在点A移动过程中，正弦函数始终有f（-x）=-f（x），余弦函数始终有f（-x）=f（x），也即正弦函数在定义域内为奇函数，对称中心为（kπ，0），对称轴为x=kπ+■，（k∈Z）。余弦函数在定义域内为偶函数，对称中心为（kπ±，0），对称轴为x=kπ，（k∈Z）。根据演示不难得出正弦函数在[-■+2kπ，■+2kπ]上单调递增，在[+2kπ，+2kπ]上单调递减。余弦函数在[2kπ+π，2kπ+2π]上单调递增，在[2kπ，2kπ+π]上单调递减。

（六）反三角函数

反正弦函数的形式为f（x）=arcsinx，x∈[-1，1]、反正切函数的形式为f（x）=arctanx，x∈（-∞，+∞）。下面以反正弦、反正切函为例，利用几何画板演示正弦函数与反正弦函数、正切函数与反正切函数之间的关系。演示步骤为：（1）绘制在单调区间[-■，■]的正弦、正切函数图像，再绘制相应的反正弦、反正切函数;（2）取点，在正弦或正切函数上任取一点A，并将点A的横、纵坐标互换绘制点B;（3）绘制对称轴f（x）=x图像，连接A、B两点后，与f（x）=x相交于C点，分别度量距离AC、CB;（4）设置动态演示“启停”按钮，选择点A，右键依次单击“编辑”“操作类按钮”“动画”，修改“動画点”标签为“启停”，此时，单击“启停”按钮，观察AC与CB数值大小以及运动趋势，便可得出反三角函数与三角函数的性质及关系。反三角函数与单调区间内的三角函数单调性一致，且图像关于直线f（x）=x对称。

三、结论

基本初等函数是函数部分的核心内容，也是学习高等数学的基础，本文介绍了基于几何画板的基本初等函数性质的动态演示方法，找出基本初等函数的性质，并对部分函数性质引入口诀以便记忆，化抽象为形象，培养学生数形结合的能力。几何画板为探究函数的实用软件之一，不仅可以探究函数的图像及性质，还可以动态展示图像的平移、旋转、轴对称等变换过程，让学生从形的角度直观认识、理解基本初等函数，让其亲身经历知识的形成过程，从而更好地理解、掌握、应用知识。

参考文献：

[1]王喆.高职数学实验方案研究的探索及思考[J].现代职业教育，2021（14）：176-177.

[2]高圣洁.用几何画板探究指数函数的图像与性质[J].数学学习与研究，2016（7）：128-129.

[3]曹斌.用几何画板探究幂函数的图像和性质[J].数学学习与研究，2017（2）：146.

[4]杨敏华.经济数学（第五版）[M].大连：东北财经大学出版社，2018.

①基金项目：2020年度曲靖职业技术学院教科研究课题（2020SZKT013）。

作者简介：应希源（1985—），男，汉族，云南曲靖人，硕士，讲师，工程师，研究方向：高等数学、初等数学教学研究。