通过“再创造”学习数学：“为何”与“何为”

摘要：弗赖登塔尔的《作为教育任务的数学》一书中，最基本的观点可以概括为：通过再创造落实“有层次的系统化”，是学习数学的唯一正确的方法。这是由人类不同于动物的本性以及数学的特性所决定的。再创造包括四个层次：通过具体的案例（问题）感悟数学的性质、关系与规律（原理）;将原理应用于较复杂的情境;局部组织形成逻辑结构;整体组织形成公理体系。弗赖登塔尔的三个观点对再创造的教学落实很重要：教材是教学法的颠倒;用数学化方法组织一个领域;发现和提出问题也是再创造。

关键词：弗赖登塔尔;《作为教育任务的数学》;再创造;学习过程层次

荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔的数学教育思想集中体现在《作为教育任务的数学》一书中。该书中最有影响力的两个观点是：数学是系统化了的常识（数学观）;学习数学的唯一正确的方法是实行“再创造”（数学教学观）。前文已经谈了“数学是系统化了的常识”的内涵及教育意义。①落实“有层次的系统化”的根本途径是再创造，它为何是“学习数学的唯一正确的方法”？它的内涵与具体表现是什么？它在数学教学中如何落实？本文通过梳理、解读《作为教育任务的数学》一书中比较零散和晦涩的论述来回答。

一、倡导“再创造”是人类以及数学的特性所决定的

人类历史上，真正的创造与创新都非常困难，因为“自古以来，传统是人类社会的凝

①刘加霞.“数学是系统化了的常识”的内涵及教育意义——《作为教育任务的数学》一书观点评述之一[J].教育研究与评论，2022（3）：105-109.

固剂，法律、阶级、风俗、习惯都凌驾于人类之上。实际上对抗传统是危险的”①。但是，“将文化遗产作为现成的材料原封不动地传授给青年人，这种做法太危险了。我们的教育应当为青年人创造机会，让他们通过自己的活动获得文化遗产，同时，应该让他们学会自信，相信自己在学习过程中可以充分地施展自己的才能”②。学习数学也是这样，必须通过数学活动（做数学）或者再创造。这是由人类不同于动物的本性以及数学的特性所决定的。

（一）人类必须且有能力进行主动学习

不像其他生物那樣具有比较完备的天赋本能（例如，出生不久即可行走、觅食），人类一生下来非常孤立无助。“大自然赐给动物以即刻必需的本能，赐给人类的却是一个机会与任务：获得遗产并且占有它。”③人类因为没有这种本能而需要学习许多体力与智力活动，这是人的本性：在接受与拒绝之间进行自由的选择，选择之后就能有目的、积极主动地学习。人类的学习是一个缓慢的过程，是能动地进行建构的过程，不能采用任何方法来强迫它。通过再创造来学习是人的本性使然。

（二）信息源的广泛性打破了教师的权威历史上，印刷术的出现防止了再一次自我封闭的恶性循环（手写本永远不能像印刷品那样方便地传播知识与科学），使书籍等材料接替了教师的权威。④而在互联网、信息技术时代，信息源的广泛性更是打破了教师的“知识霸主”地位，教师不再拥有不可侵犯的教条，学生也不再是仰师傅鼻息的徒弟。在一个小组中，没有天生的权威，只有自然涌现出来的最成熟者，成为首席。科学不是教出来的，也不是学出来的，而是创造出来的。⑤学习不再是单一地接受教师的讲解，数学学习的内容与方式必须转变。

（三）数学的“模式化”比“模式”更重要

数学是关于算法、模式、策略的科学。较低层次的算法通过再创造而获得是最有效的，其他较高层次的内容更应该通过再创造来获得。程式化（模式化），即制造模式，比模式（本身）更为重要。“可惜我们没有有意识地去了解我们大多数的模式，看来这对教学是不利的，其实这也有有利的一面。因为我们没有有意识地去了解，所以我们就不能将模式作为现成的东西有意识地教给学生，模式只能隐含在我们的程式化中。可以明确教授的只有程式化，而不是模式。”⑥

例如，不少小学教师对一些数学知识背后的原理、规律不清楚，反而无意地给学生探索发现原理、规律的时空，而不是“告知式”地把原理、规律作为“现成的数学”教给学生。教师对数学知识“知道得少”未必是坏事，只要有真诚、开放的心，就能够与学生“同等待遇、公平地”去探究发现。但这需要教师有先进的学习观，敢于给学生自主探究发现的时空与脚手架。

随着人们思维的成熟，所占有的知识材料会愈来愈有密切的联系，从而可以自成体系而不必硬去记住。“很多知识会被忘记，是被达到顶峰的人踢掉了梯子。”只有经历再创造，学生才有可能成为“达到顶峰的人”。只有亲身的经历和感受，才是再创造的动力。

二、“再创造”的含义及层次表现

弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中追述了苏格拉底的“产婆术”、夸美纽斯的“大教学论”的主要观点。虽然夸美纽斯提出“学生不仅通过语言，而且通过完整地感觉现实来学习”，但他还是强调教师“教”的重要

①②③④⑤⑥弗赖登塔尔作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：53，58，59，55，55，380。

性并提出“教的最好方法是演示”，弗赖登塔尔在此基础上提出“学的最好方法是做”①。在弗赖登塔尔的论述中，再创造、数学化与做数学这三个术语的内涵基本一致。“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法，我称之为再创造方法，这个观念在许多地方或迟或早地独立形成。”②虽然人们普遍认可再创造，但在实践中真正做到的却不多，首先是概念理解的问题，即再创造到底指什么。

（一）基于学习层次理论的再创造

数学教育不应该把现成的数学定义、性质与规律等内容强加给学生，学习这些内容时必须含有创造的侧面。这并非客观意义上的创造，而是主观意义上的创造，即从学生学习的视角看是创造，所以叫再创造。实际上，“数学家的数学结构也并非像书架上陈列的书那样一成不变，而是每天都在变化，那为什么学生就应该学木乃伊式的数学呢”③。对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学，而不是因袭和效仿。

弗赖登塔尔还明确指出：再创造不仅仅指发现或再发现。“最使我烦恼的是，对于再创造这个概念，大多数都作了太狭隘、太肤浅的解释。”④他根据范·希尔夫妇提出的“学习过程的层次”理论，以完全归纳法为例，阐述了学习过程的四个层次：首先必须有例子以迫使学生发现完全归纳法，通过特殊例子，学生认识到普遍的原理;随后又将其用于更复杂的情况;在掌握原理的基础上，才能在教师的帮助下进行系统的阐述;最后在公理化方面有一些亲身体验的话，才能进入皮亚诺公理的轨道。⑤

学习的不同层次中都有再创造行为。在第一层次上，将直观、具体的现实问题（范例）转化为数学问题并解决，初步感悟一般的方法与原理;在第二层次上，将所获得的原理应用于新的更复杂的情境，不只是更换或代入“数值”;在第三层次上，建立联系，形成局部的有逻辑的结构;在第四层次上，形成严谨、演绎的整体性结构体系。弗赖登塔尔特别强调，“举出新的案例”也是“再创造”的重要表现，例子比一般证明更能说服人，只有领会具体例子的人，才会理解一般证明。⑥

弗赖登塔尔将前两个层次的再创造称为“水平数学化（解决现实问题）”，后两个称为“垂直数学化（数学内部的结构化）”。

（二）高层次的再创造是一种“组织”

垂直数学化是高水平的再创造，其重要表现是局部组织与整体组织——可以说，再创造主要表现为组织化、结构化。尤其是局部组织在数学学习中无处不在，经过局部组织形成更一般的数学结构是再创造的典型表现。整体组织的最高水平是公理化（有数学家甚至认为只有经过公理化形成演绎结构体系的内容才能称为“数学”。不过，这样的观点并不适合学生的数学学习）。

例如，在自然数范围内，加、减、乘、除是四种不同的运算，加法和乘法满足封闭性，减法与除法则不具有封闭性。能否重新组织数学内容，使减法与除法也具有封闭性呢？于是，人们“定义”了负数、有理数，从自然数扩充到整数、有理数数域。而且，数域扩充后，减法也是加法，即减一个数等于加这个数的相反数;除法也是乘法，即除以一个数等于乘这个数的倒数。可见，重新组织后，加法、乘法是更基本的运算。进一步说，《义务教育数学课程标准（2022年版）》特别强调的数与运算的一致性，实际上也是一种“组织与再组织”的结果，其根

①②③④⑤⑥弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：102-103，111，122，112，113，370.

本是数学概念之间的“联系”。

类似地，不考虑图形的长度与角度的可比性，只考虑直线性与平行性，则得到仿射几何;不考虑平行性，只保持直线性，就得到射影几何;再进一步，直线性作为结构的性质也被去掉，空间就简化成了拓扑结构。从欧氏几何到拓扑结构，也是再创造过程，是在结构化数学。①

经过再创造的重新组织，数学知识之间的关系更为简洁与统一。而数学体系内部的和谐统一也能够促进数学知识的发展。

（三）再创造需要从低层次到高层次发展再创造一般都是由低层次到高层次的，不能颠倒，不能将形式化、结构化的内容作为现成的数学“教或传递”给学生。同时，各层次间也具有一定的不连续性，即某些学生的学习曲线具有跳跃性，不同的学生学习同样的内容时可能处于不同的层次。

最低层次的再创造是不可缺少的，但一定是“暂时的”。例如，在最低层次上，借助操练以获得算法的自动化是必要的②，但不能像过去那样被夸大。只有到了下一个层次，学生才会进行反思，并分析最低层次中的组织方法，这时，才开始有了点数学味道，虽然也还是最微不足道的形式，但不再是“开玩笑”了。③不给学生提供进入高层次的机会，就会使数学学习停顿甚至退化。教师要设计一些教学手段，让学生从低层次到达高层次。

进入较高层次后，较低层次的活动就成为分析的对象。在第一层次上，有具体的问题或案例支撑，便于学生做数学，感知并体验其中蕴含的性质、关系与规律;在第二层次上，将前一个层次感悟的性质、关系与规律进行运用，运用的过程也是再认识的过程;在第三层次上，前两个层次的问题、案例以及感悟的性质、关系与规律被有意识地“局部地组织”成一个原理;第四层次的水平最高，是将前面的性质、关系与规律从公理化角度“再组织”，以得到一般化的结论，形成公理体系。

三、有助于数学教學中落实“再创造”的三个观点

再创造在数学教学中的落实也不容易，因为教育作为一种人类活动，是非常复杂的，是一个从理想到现实、从要求到完成的长期过程，需要循序渐进。弗赖登塔尔的下述三个观点值得借鉴。

（一）教材是教学法的颠倒

弗赖登塔尔有一个著名的论断：教材是教学法的颠倒。④他在本书的序言中明确写道：“像乐章的序曲一样，序言通常是最后写的，把它放在本书的最前面，这是一种写作风格的反映。数学著作或数学教科书也是这样，先呈现数学思考的结果。特别是对一些关键性的定义，它们其实是结构的最终笔触，却总被摆在最前面。”这也就意味着，教学不是让学生记忆掌握教材上的结论或结果等事实性知识，而要将其“颠倒过来”，“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些成果的”，“学生怎样才能把他要学的知识‘再创造出来”⑤。

例如，“两组对边分别平行”“两组对边分别相等”“一组对边平行且相等”“对角线互相平分”“两组对角分别相等”等关于平行四边形的论断，哪个作为定义？哪些作为判定定

①弗赖登塔尔.数学教育再探——在中国的讲学[M].刘意竹，杨刚，等译.上海：上海教育出版社，1999：131.

②③⑤弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：131，118，序言1。

④传统教材确实较少呈现某些概念、原理和某些问题是如何被探究、被解决的，但我国当下的数学教材则尽可能呈现出这个“过程”。当然，由于学生的思维、经验是多样化的，实际教学中学生的探究发现过程远比教材上呈现的丰富，“教材是教学法的颠倒”仍成立。

理？这些命题是否都是等价的？这些问题都可以让学生“自由探究”。一旦确定哪个作为定义后，其他命题都可以由定义出发经由逻辑推导得到，都可以重新局部组织形成一个演绎体系。让学生探究，自主“下定义”“推性质”，比教师“教定义”“教性质”更合适，因为前者是再创造。

（二）用数学化方法组织一个领域

毫无疑问，学生的再创造（数学化）从最低的层次开始，也就是先对非数学内容进行数学化，以保证数学的应用性。但是，不能把数学化“狭隘化”，即将其理解成最低层次的活动，而要进到下一个层次，即至少能对数学内容进行局部的组织（整体地组织则常常要求过高）。例如，最时髦的提法就是为现实中某个微小而孤立的片段——所谓的“情境”进行数学化，也即为情境建立一个数学模型①，但这只是第一层次的数学化，“建立联系、构建结构，形成局部组织”才是更需要关注的再创造的手段。

例如，对事物某些属性的度量所形成的度量体系，也经历了组织与再组织的过程。最先学习的是一维空间的度量，即长度，然后是二维、三维空间的度量，即面积、体积。将这三者组织起来可以发现，其具有共同的结构，即度量单位、度量单位的个数;同时满足某些共同的性质，即运动不变性、合同性、有限可加性、自反性与传递性等。进一步组织可以发现，角度与常见的量（时间、人民币、质量等）也具有前述结构和性质（但限于学生的知识与思维水平，后者的学习目标要求不同）。再进一步，甚至可以得出“自然科学的本质在于‘可度量，人文科学则‘难度量”等哲学观点。

“用数学化方法组织一个领域”是保证实现数学整体结构的广阔途径，并非“金字塔的塔尖”。当然，组织到何种程度，还需要讨论。情境与模型、问题与求解这些活动作为必不可少的局部組织手段是重要的，但它们都应该服从于总的方法。

（三）发现和提出问题也是再创造

再创造不只体现在解决问题上，从情境中发现和提出问题也是再创造。发现和提出问题大致可以分为三个阶段：一是分析现实情境要素的关系与结构，进行抽象概括，将现实疑问变成结构不太良好的数学疑问——这是水平数学化的主要内容;二是通过初步的数学推理和运算，将数学疑问进一步明确，提出更为一般化、结构良好的数学问题;三是随着数学思考的持续和深入，问题中的关系结构越来越清晰、明确，于是大胆提出猜想并加以证实。发现和提出数学疑问、问题和猜想，是数学化水平越来越高的过程。在这一过程中，学生能把要学习的知识，在教师的引导和帮助下，发现并创造出来。

总之，正如弗赖登塔尔所说，我们无法知道今天教给儿童的题材（即内容），是否就是他们未来需要的，但是我们可以教给儿童更为宝贵的东西，不是特定的题材，而是如何去掌握题材②，也就是“授之以渔”。当下，浪漫而激进的儿童和青少年要求更为个性化的教学，我们也要更加注重培养他们的创造性。因此，“要让他们像数学家那样阅读文献，自由地再创造，使之具备正确的态度并掌握正确的方法，会在学习过程中进行循序渐进的再创造”③。

①②③弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：124，59，151。