三个版本教材中“三角形的认识”的比较

彭国庆

[摘 要]“三角形的认识”是“多边形的认识”单元中的初始内容。文章比较苏教版、人教版和北师大版三个版本教材中编排的三角形相关内容，得出三个方面的相同点和四个方面的不同点，为三角形教学质量的进一步提高给出了理论方面的参考。

[关键词]三角形;三个版本教材;比较研究

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）17-0001-04

三角形是多边形中边数最少的平面图形，它和其他多边形有着紧密的联系，“三角形的认识”是学生学习多边形知识的基础，因而有必要深入研究“三角形的认识”（本文中的“三角形的认识”是广义上的“三角形的认识概念”），以提高“三角形的认识”的教学实效。

一、三个版本教材中“三角形的认识”的内容编排

对江苏教育出版社、人民教育出版社、北京师范大学出版社出版的教材（分别简称苏教版教材、人教版教材和北师大版教材）中“三角形的认识”的内容进行整理，如表1所示。

从表1中可以看出，苏教版和人教版教材中有关“三角形的认识”内容的编排基本一致，北师大版教材中有关“三角形的认识”内容的编排思路与苏教版、人教版的差异较大。

二、三个版本教材中“三角形的认识”内容编排的相同点

1.利用学生已有的经验认识三角形

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。苏教版和人教版教材都是编排学生熟悉的、感兴趣的生活场景，如斜拉桥、金字塔等，引导学生从实物中分别找出这些物体面上的三角形，体现从生活经验出发学习数学的意图。北师大版教材则是从学生的学习经验出发，让学生对多个平面图形和立体图形进行分类，在分类的过程中认识三角形。三个版本教材的编排方式，均有效激活了学生的生活经验和知识经验，有利于学生进一步探究三角形的特征。

2.在丰富的活动中探究三角形的边的关系

我国著名教育家陶行知先生认为“行是知之始，知是行之成”。动手操作是学生学习数学的有效方式。苏教版教材编排了活动情境：有5 ㎝、2㎝、4 ㎝和8 ㎝长的四根小棒，从中任取三根小棒，尝试围一围，看看有怎样的发现。人教版教材则编排了数学实验：剪出下面4组纸条（单位：㎝）“（1）6、7、8;（2）4、5、9;（3）3、6、10;（4）8、11、11”，用每组纸条摆三角形，从中你发现了什么？学生在实验的过程中发现有的组的三张纸条能摆成三角形，有的组的三张纸条不能摆成三角形。北师大版教材用了“探索与发现：三角形边的关系”这样的标题引发学生的探究，和人教版教材类似，提供了4组小棒“（1）3、5、6;（2）3、4、6;（3）3、3、6;（4）3、2、6”让学生摆三角形，并提出三个问题“哪组能摆成，哪组摆不成？”“想一想，怎样的3根小棒能摆成一个三角形？”“算一算，比一比，能摆成三角形的3根小棒之间有什么关系？”引发学生透过现象探寻本质。三个版本教材均通过探究活动来引发学生深度学习、深入理解。

3.问题驱动学生探究三角形的内角和

对于三角形的内角和，三个版本教材非常一致地采用了问题驱动的方式引导学生进行探究。苏教版教材的是“你知道每块三角尺3个内角的和是多少度吗？”“用量角器量出每个三角形3个内角的度数，3个内角度数的和是多少？”“你发现了什么？”人教版教材設计了两个连续性问题：“画几个不同类型的三角形。量一量，算一算，三角形3个内角的和各是多少度。”“你发现了什么？用实验来验证一下。”北师大版教材先用如图1所示的问题引发学生思考，紧接着提问“小组交流发现了什么？”“有什么方法能验证你们的想法？”三个版本教材设计的问题环环相扣，由浅入深逐步引导学生在探究中发现规律。

三、三个版本教材中“三角形的认识”内容编排的不同点

1.三角形的特征

“三角形的认识”主要是认识三角形的特征，其中三角形的底和高是重要内容。苏教版教材编排了一个画三角形的活动，让学生画三角形后说说三角形有什么特点，之后给出三角形的定义“三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形”，同时介绍三角形的底和高。人教版教材也是让学生画一个三角形，并说一说三角形有几条边、几个角、几个顶点，在此基础上给出三角形的定义“由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形”，同时介绍三角形的底和高，之后说明可用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可以表示成三角形ABC。相比之下，苏教版教材对三角形的定义更简洁，读起来也朗朗上口;人教版教材对三角形的定义和初中的知识，尤其是在字母表示方面衔接更加紧密。北师大版教材在“三角形的认识”中没有编排三角形的定义以及底和高的内容，而是引导学生借助已有的认知经验对图形进行分类，把三角形的底和高的内容编排在了五年级上册“多边形的面积”中，且和平行四边形、梯形的底和高进行整合。北师大版教材与其他两个版本教材的内容编排差异较为明显。

2.三角形的稳定性

三角形的稳定性是三角形的一个非常重要的内容。苏教版教材把三角形的稳定性编排在了三角形的内角和之后的 “你知道吗”栏目（如图2）中，通过文字解释了三角形的稳定性“就是当一个三角形的三条边确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变”，而后引导学生在实验中理解三角形的稳定性。人教版教材则单独编排了一个例题，让学生用3根小棒摆三角形，用4根小棒摆四边形（如图3），而后引导学生通过实验发现三角形具有稳定性。北师大版教材创设问题情境（如图4）采用动手操作的方式引导学生发现三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，而后在“你知道吗”介绍三角形的稳定性在生活中的应用。

从三个版本教材的内容编排上可以看出，苏教版教材揭示了三角形稳定性的内涵，但没有和四边形的不稳定性联系起来。人教版和北师大版教材把三角形的稳定性和四边形的不稳定性放在一起进行对比，通过对比突出三角形的稳定性。北师大版教材没有编排让学生用小棒或者纸条拼摆三角形的活动，而是引导学生在拉三角形和四边形木框的活动中体会三角形的稳定性和四边形的不稳定性。这样一来，学生对于三角形的稳定性的理解可能会更多地倾向于三角形的稳固性，这种稳固性更多地表现为三角形的物理特性，而对于三角形的形状、大小不变的稳定性的理解有所弱化。

3.三角形按角分类

按角对三角形进行分类，有助于学生全面细致地研究三角形，形成系统、完整的认知结构。苏教版教材通过问题“下面每个三角形的3个角分别是什么角？你能根据角的特点把这些三角形分类吗？”引导学生对6个三角形进行分类，而后呈现分类依据和分类结果，在此基础上采用描述性的语言给出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义，最后提出问题“一个三角形可能有2个直角或者2个钝角吗？为什么？”，让学生结合三角形的内角和的知识理解直角三角形和钝角三角形的定义。人教版教材没有苏教版教材那么细致，只是由提示语引导学生把三角形按照角来分类，再结合主题图给出三角形分类的结果，没有给出每种三角形的定义，这样可能会造成一些学习能力较弱的学生对銳角三角形、钝角三角形等概念的理解较为吃力。北师大版教材提供了9个三角形让学生进行分类，并在呈现分类结果后，通过给每种分类结果起名称引出3种不同的三角形。

比较后发现，苏教版教材是把三角形按角分类放在了三角形的内角和之后，而人教版和北师大版教材则是把三角形按角分类放在三角形的内角和之前。从合理解释为什么三角形中只有一个直角或者只有一个钝角的角度来看，苏教版教材的编排更为科学。通过比较还发现，人教版教材对于直角三角形的边的内容的编排更为细致，突出了直角边和斜边的介绍，并通过问题“量一量左边这个直角三角形的直角边和斜边，再比一比，你发现了什么？”，引导学生发现“在直角三角形中，直角边的长度都比斜边的长度短”的重要结论，而苏教版和北师大版教材中没有相关内容。

4.对多边形的内角和的拓展程度和呈现方式

三角形的内角和是研究多边形的内角和的基础，编排多边形的内角和的目的就是通过对三角形内角和的应用培养学生的知识应用能力和知识迁移能力。苏教版教材在本单元内容结束之后单独设计了探索规律“多边形的内角和”这一内容，探索多边形的内角和的规律并总结出多边形的内角和的计算公式，在探究方法上采用量一量、分一分的方法。人教版教材在三角形的内角和之后紧接着编排了四边形的内角和，图6的四边形的内角和的研究方式延续了图5的三角形的内角和的探究方式，是对内角和探究这一数学活动经验的应用和再积累，而后在练习中编排了求六边形的内角和，但是没有给出多边形的内角和的计算公式。北师大版教材则是在三角形的内角和的练习中设计了一道探索四边形内角和的习题（如图7），直观形象地展示了四边形的内角和的探究方法，没有过多涉及其他多边形的内角和的探究学习。

四、“三角形的认识”相关内容的编排建议

1.适当后置三角形的部分内容

小学阶段的多边形主要研究三角形和四边形（长方形、正方形、平行四边形和梯形），虽然三角形的内容看起来不多，但包含的知识点还是非常多的，如三角形的特征、三角形边的关系、三角形分类等，而对于四边形（如长方形、正方形、平行四边形和梯形等），尤其是平行四边形和梯形包含的内容相对少一些。三角形边的关系、三角形的内角和等都是三角形的基础内容。教材普遍是在学生学习了三角形的分类后再安排三角形的相关面积计算，建议可以将三角形的底和高的认识结合图形面积计算进行组合编排，也就是学习三角形的特征、边的关系、内角和之后，紧接着编排三角形的面积计算，而不是先认识所有的图形再学习所有图形的面积计算。

2.适当调整三角形的内角和和三角形的分类的位置

分类是认识事物的方法之一，通过分类可以达到充分认识并掌握图形的学习目标。对于三角形，可以按照边的特点或关系进行分类，也可以按照角的特点进行分类，但如果是在学生对于三角形的边的要素以及角的要素等内容全面学习之后安排相应的内容，效果会更好。也就是，先让学生学习三角形的内角和，因为三角形的内角和是三角形分类的前提，有了三角形内角和的知识点，学生理解三角形的分类会更容易。

综上，三角形的教学要基于对三角形相关内容以及教材编写意图的深刻理解，通过不断深入研究，方能有效提高教学质量。

[本文系江苏省中小学教学研究第十四期重点自筹课题“‘大问题视域下小学数学实验教学实践研究”的阶段性研究成果（课题编号：2021JY14-ZB122）。]

（责编 金 铃）