利用还原法解决导数中的一类问题

华加婷

摘要：本文通过几个例题，先探索构造抽象函数的通用步骤，再进行导数的加法或减法运算，接着进行对数乘法或除法运算，构造相应的函数，从而巧妙地解决此类问题.

关键词：高中数学;导数;还原

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）19-0076-03

1 问题的提出

在高中数学学习过程中，解题的方法多种多样，但一般来说，最常见的方法是“前推后”，即通过已知条件向后推算出结果.而实际操作过程中很多问题是需要“逆推”的，例如导数中的一类问题，需要将导数还原，这需要学生具备一定的逻辑推理能力.而多數学生因不知道从哪里下手，所以找不到解题的切入点，这时就需要运用多种解题方法.还原法是众多方法之一，是依据数学规则和方法，来实现导数的还原.对于绝大多数高中生来说，能记忆某些导数的原函数，却不知道还原原函数的方法.

为了帮助学生解决此类问题，本文介绍一种构造函数的方法：“对数还原法”，它是为了证明中值定理而采用的一种方法，其原理是将目标条件构造成两个以e为底对数函数的形式，最终所构造的辅助函数是利用导数加减法则和对数运算法则而得.顺着这个思路，将其应用在抽象函数导数的一类问题中，去探求从特殊到一般、抽象到具体的解题方法.

2 步骤初探索

一般情况下，在高考数学试题中，抽象函数和导数结合常以综合题的形式出现.下面将以xf ′（x）-f（x）=0为源头，探索在题目给出不同条件的情况下，如何不靠“死记硬背”而灵巧地构造相应的“关键性”函数，从而为解决这一类问题提供切实可行的解题步骤.

在高中有两种构造抽象函数的方法，一是利用和差函数求导法则构造;二是利用积商函数求导法则构造，其本质上是组合还原，其关键点是根据已知条件的特点去还原、构造.例如，当题目中出现f ′（x）+g′（x）=0时，可构造F（x）=f（x）+g（x）……当然，有一部分学生能够记住非常多的函数构造公式.虽然说这在一定程度上对解题有所帮助，但是在遇到一些更有深意、陌生的题目时，这些公式很有可能是“一把破刀”而非“利剑”.因此，为了更高效地学习数学，需探索同类题型的通法，而非是记住所有的公式.

2.1 直接构造

3 步骤应用

综上，从上面的例题可以看出，作商还原的解题步骤为构造一类非常规、非常见的函数提供一定的构造思路.当然，解决问题的方法多种多样，并非一定按照上述步骤去解题.在解题时，面对新颖的、更有深意的题目，可灵活运用解题技巧，多角度思考问题、分析问题.

参考文献：

[1]于志洪.构造函数法解题初探[J].数学教学研究，2015，34（12）：34-38.

[2] 李兆强.高中数学数列的解题常规方法分析[J].数理化学习（高中版），2015（07）：2-3.

[责任编辑：李璟]