灵活运用向量法，快速解答立体几何问题

李晓庆

向量法是解答立体几何问题的重要方法.运用向量法解题，往往需根据空间几何图形的特点，找到三条相互垂直且交于一点的直线，建立空间直角坐标系，然后用向量的坐标形式表示问题中的点、线段、平面，再通过向量的坐标运算求得问题的答案.向量法可用于判断空间线面的位置关系、求二面角的大小、求线面角的大小、求空间距离.下面结合实例，探讨一下如何运用向量法解答立体几何问题.

一、判断空间线面的位置关系

空間线面的位置关系主要有垂直、平行、相交、直线在平面内等.运用向量法判断空间线面的位置关系，需在建立空间直角坐标系后，分别求得相关点的坐标、直线的方向向量以及平面的法向量.设直线的方向向量为，平面的法向量为，当∥，即=λ时，直线与该平面垂直;当⊥时，直线与该平面平行或直线在平面内;若与既不平行也不垂直，则直线与平面相交.

例1.如图1，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动，试判断平面 PA1C 与平面 AB1D1的位置关系.

解答本题，需先根据正方体的特点建立空间直角坐标系，然后求得各个点的坐标、各条线段的方向向量，再根据直线与平面垂直的判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的任意两条直线，则这条直线垂直与这个平面.设出法向量 n，使其与 AB1、 AD1垂直，建立关系式即可求得法向量 n，证明 CA1//n，最后根据面面垂直的判定定理证明面 PA1C ⊥平面 AB1D1.在运用向量法判断空间线面的位置关系时，一定要明确：（1）若 a= λb ，则 a∥ b ;（2）若 a?b =0，则 a⊥ b .

二、求二面角的大小

根据向量的数量积公式可知两个向量 u、v 的夹角的余弦为 cos α= |u?v||u|?|v|.在运用向量法求二面角的大小时，可根据题意求得两个半平面的法向量 u、v ，然后根据夹角公式 cos α= |u?v||u|?|v|求得二面角的余弦值.

根据法向量与平面的位置关系可知，二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.因此在求得两个半平面的法向量的夹角后，要根据图形判断二面角为钝角还是为锐角，再根据余弦值来确定二面角的大小.

三、解答空间距离问题

我们知道，空间距离包括点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线之间的距离、直线与平面的距离、平面与平面之间的距离，而这些距离都可转化为点到直线或点到平面的距离.对于点到直线的距离，可直接运用平面几何中的点到直线的距离公式求得;若求平面外一点 P 到平面α的距离，需在平面α内选取一点 A ，求得斜线 PA 的方向向量与平面的法向量 n，再由向量的数量积公式得cos α=||AP?n|| AP ?|n|（α为）AP与n的夹角 ， 则 P 点到平面的距离为 d =|| AP cos α=||AP?n|n|.

在建立空间直角坐标系后，分别求得平面 ADF 的法向量和斜线 DE 的方向向量，将其代入公式 d =|a?n||n|进行求解即可.

由上述分析可知，运用向量法求解立体几何问题，需根据立体几何中的性质、定理、定义来明确点、线、面之间的位置关系，灵活运用空间向量的运算法则，尤其要熟记数量积公式、向量的模的公式.总之，运用向量法，可将立体几何问题转化为向量运算问题，这有利于转换解题的思路，提升解题的效率.