活用数形结合 提升解题能力

林子渊

数形结合是一种重要的数学思想方法，在整个数学思想体系中占有重要位置。其直观性强，有利于学生理解数学问题，通过数与形的相互转化、相辅相成，可使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，模糊的问题清晰化，有助于学生把握问题本质，提高分析问题的能力，使数学问题迎刃而解。

一、数形结合，使抽象的问题直观化

数学实际上是一个翻译的过程，将文字语言翻译成图形，或将图形翻译成文字语言。在这个翻译的过程中，有一部分学生的分析能力、理解能力较弱，对一些抽象数学问题的理解存在较大困难。这时，教师不妨引导学生利用实物图或者画图，借助图形的直观作用，便于解决抽象的数学问题。

如，在教学“除数是整十数的口算除法”时，教师出示了这样的情境：有80面彩旗，每班分20面，可以分给几个班？学生根据题意列出算式80÷20。口算时，先引导学生在小棒图上圈一圈，一捆10根小棒表示10面彩旗，2捆共20根小棒圈起来为一组，8捆里面有几个2捆？也就是80里面有几个20？利用小棒图理解“因为8÷2=4，所以80÷20=4”的除数是整十数的口算除法方法。也可以指导学生借助计数器来分析，10面彩旗在计数器上用十位一颗珠子表示，8颗珠子拨在十位上表示80，每一颗表示10面彩旗，每2颗分一组表示20面彩旗，就可以表示80里面有几个20，列式口算就是80÷20=4。计算方法可以迁移到800÷200、8000÷2000……除数是整十数的口算除法，一部分学生不能理解算理，特别是由“8÷2=4”得到“80÷20=4”口算方法的算理，学生借助小棒图和计数器能更好地理解除数是整十数的口算除法转化成表内除法的口算除法算理。让学生在直观中理解算理并掌握抽象的口算方法，实现算理与算法的交融。

在小学阶段，学生的直观形象思维占主导地位，因此大部分抽象数学知识的学习都需要“形”的支撑，借助小棒图和计数器的“形”来教学除数是整十数的口算除法，让学生在直观中理解算理并掌握抽象的口算方法，活用数形结合，提升学生解决问题的能力。

二、数形结合，使复杂的问题简单化

在小学阶段，学生由于理解和认知能力有限，只从文字表述单方面去思考，对于部分理解能力不强的学生来说，解决问题时会存在一定的困难。而线段图是数学教学中常用的方法，在解决一些数量关系错综复杂的实际问题时，应用画线段图的方法分析解答，可以使复杂的数量关系式变得简单明了，问题就很容易得到解决。

如，教学“比的应用”时有这样一题：小明用一星期读完一本课外读物，前5天读了这本书的，第6天和第7天读的页数比是3∶2，第6天比第7天多读10页，这本课外读物有几页呢？

引导学生画线段图（如图1）进行分析，通过线段图，学生很容易看出第6天比第7天多读10頁是后面两天读的总页数的，就可以求出后面两天读的总页数，再根据线段图直观看出后面两天读的总页数占一星期读的总页数的，就能快速的列式解答，10×（3+2）÷（9-7）×9=225（页）或者10÷（）÷（1-）=225（页）。

又如，教学“百分数解决问题”时有这样一题：一根竹竿不到9米，从一端量到5米处做一个记号A，再从另一端量到5米处做上记号B，这时AB间的距离是竹竿长度的25%，竹竿长多少米？可以根据题目意思画图2，一些学生观察图2，动脑筋想出了解决问题的办法，两个5米就是整根竹竿长度和整根竹竿长度的25%之和，整根竹竿长度看成单位“1”的量，列式（5+5）÷（1+25%）=8（米），求出竹竿长8米。一些学生观察图2后还想不出解决问题的办法，可以在图2的基础上，画出图3，让这些学生更直观地观察到两个5米就是整根竹竿长度和整根竹竿长度的25%之和。

由此可见，在教学中，如果学生能学会用线段图来表示数量关系，可以帮助学生从复杂的数量关系中寻找数学知识之间的联系，提高学生分析问题的能力，使复杂的问题变简单。

三、数形结合，使模糊的问题清晰化

在平常的学习中，学生常常碰到一些思维含量大、富含变化、信息模糊不清的问题，这些问题应用简单的数学公式不能很好解决。在解决这些问题的过程中，学生常常会有“亦此亦彼”的解题思路，无从下手。此时，教师引导学生应用画直观图的方法，就能很快找到解决问题的突破口。

如，教学“长方形和正方形的面积”时有这样一题：陈叔叔家有一块长80米，宽60米的长方形菜地，菜地的一部分被道路拓宽征用，菜地长和宽都减少了10米，道路拓宽后菜地面积减少多少平方米？学生独立思考完成后，会有两种解题方法：（1）10×10=100（平方米）（2）80×60-（80-10）×（60-10）=1300（平方米），但分不清楚哪种方法是正确的。此时，引导学生画直观图（如图4）判断，学生恍然大悟，方法（1）的10×10=100（平方米）只是减少面积中的一小部分（图中阴影部分的面积），所以用10×10=100（平方米）的列式解答是不正确的。学生通过画直观图可以清晰的判断方法（2）是正确的，通过画图有的学生还找到了其他列式解答的方法。先分别求出减少的三块面积，再相加，列式解答为（80-10）×10+（60-10）×10+10×10=1300（平方米）。

又如，教学“三角形的面积”时有这样一题：有一个三角形的花圃，底长8米，如果这条底对应的高不变，底延长2米，那么，它的面积就增加4平方米，原来三角形花圃的面积是多少平方米？学生读完题目，理不清楚混乱的数量关系，通过画图，学生发现延长的那一段底乘这条底对应的高除以2就是三角形增加的面积，可以求出高是4米，原来底长8米，就能求出原来三角形花圃的面积是8×4÷2=16（平方米）。

这样的练习，能够有效复习长方形、正方形和三角形面积的有关知识，也能使学生体验画图策略“化模糊为清晰”的价值，形成利用图形解决数学问题的意识，感悟和体会“数形结合”思想。

数形结合作为一种重要的数学思想，不仅是小学数学教材编排的一个重要特点，更是解决数学问题常用的方法。在教学过程中能够化解难点，为学生提供恰当的直观材料，帮助学生迅速找到解决问题的方法。教师应着眼于学生数学发展的全局，在平时的教学过程中，有针对性地渗透数形结合思想，提升学生的数学素养。

（作者单位：福建省厦门市集美区杏北小学 本专辑责任编辑：宋晓颖 念育琛）