一元二次方程错解例析

聂雨薇

一元二次方程是初中数学的重点，也是中考必考内容之一。但不少同学常因为概念不清、解法不当等原因，在解决一元二次方程相关问题时出现错误。现从一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系、应用等方面进行错解例析，希望同学们能从中吸取经验，避免犯同样的错误。

一、概念不清

例1 若关于x的一元二次方程（m-1）x2

-2mx+（m+2）=0有实数根，则m的取值范围是。

【错解】因为关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0有实数根，所以（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，解得m≤2。

【错因】本题虽然考查的是根的判别式，但不少同学错在忽略了一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件，属于概念不清。

【正解】因为关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+（m+2）=0有实数根，所以（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，得m≤2。又因为m-1≠0，即m≠1，所以m≤2且m≠1。

【评析】同学们都知道利用根的判别式求解此题，但经常会忽视隐藏条件。题目中交代了该方程是一元二次方程，而一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中a≠0，这是解题的关键。当然，若将题目中的“一元二次方程”改为“方程”，就需要分类讨论了，同学们可以想想答案是什么。

二、解法不当

例2 解方程：（1）（x+1）2=9;（2）x2+x=2;（3）（x-2）2=3（x-2）。

【错解】（1）x+1=3，x=2;

（2）运用公式法，将a=1，b=1，c=2代入求根公式，方程无解;

（3）方程两边同除以x-2，得x-2=3，x=5。

【错因】（1）未掌握平方根的定义，导致用直接开平方法求解方程时漏根。

（2）用公式法求解方程时未将方程化为一般式，导致a、b、c提取错误，进而影响结果。

（3）等式的基本性质：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。错解未正确使用等式的基本性质，未考虑到x-2=0的情况，导致漏掉了x=2这个根。

【正解】（1）x+1=±3，x+1=3或x+1=-3，解得x1=2，x2=-4。

（2）化为一般式后再运用公式法，将a=1，b=1，c=-2代入求根公式，解得x1=1，x2=-2。

（3）（x-2）2-3（x-2）=0，（x-2）（x-2-3）=0，x-2=0或x-2-3=0，解得x1=2，x2=5。

【评析】用直接开平方法解一元二次方程时，一要注意将方程右边化为非负常数再开平方，二要谨防漏根，部分同学还会犯以下错误：x+1=±3，x=±2;用公式法解一元二次方程时，除了要准确记忆公式，还要记得先将方程化为一般式，准确提取a、b、c的值;应用等式的基本性质解方程，切不可在方程两边同除以含未知数的代数式。此外，对于一个一元二次方程，同学们在求解时要合理选择恰当的方法，其中因式分解法简便易用，是解一元二次方程常用的方法，因而在解方程（3）时，我们无需展开再求解。

三、根与系数的关系运用失误

例3 关于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，则k的值是。

【錯解】根据根与系数的关系，可得x1+x2=k+1，x1x2=k+2，则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k+1）2-2（k+2）=6，解得k=±3。

【错因】一元二次方程中根与系数的关系存在的前提是方程有根。因此，在解出k的值后，要判断是否符合题意。

【正解】因为关于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，

所以x1+x2=k+1，x1x2=k+2。

因为x12+x22=6，

所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k+1）2-2（k+2）=6。

解这个方程，得k=±3。

当k=3时，b2-4ac=16-20=-4<0，不符合题意;

当k=-3时，b2-4ac=4+4=8>0，符合题意。

所以k=-3。

【评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及根的判别式、完全平方公式等。运用根与系数的关系解题时，我们切记必须保证方程有实数根。我们可以通过根的判别式求出k的具体范围，也可以直接代入验证，相对来说后者计算量较小。

四、实际问题忘记检验

例4 某商店经销一批季节性家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台。商店销售该家电获利2210元，同时让顾客更实惠，那么每台家电定价应为多少？

【错解】设每台家电定价为x元。

根据题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2210。整理，得x2-110x+3021=0。解这个方程，得x1=53，x2=57。

答：每台家电定价为53元或57元。

【错因】解出两个根后，未根据题目中“同时让顾客更实惠”这一要求对根进行取舍。

【正解】设每台家电定价为x元。

根据题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2210。整理，得x2-110x+3021=0。解这个方程，得x1=53，x2=57。

为让顾客更实惠，每台家电定价57元不合题意，舍去。

答：每台家电定价为53元。

【评析】本题考查了一元二次方程的应用，要求同学们能够理解题意并根据“总盈利=单件利润×数量”的等量关系准确列出方程。在解决实际问题时，一定要记得检验，除了检验根是否满足方程本身，更要检验最终方案是否符合实际意义。

（作者单位：南京师范大学附属中学树人学校）