进行不等式运算“同解变形”是关键

摘要：从一道题的解答错误点出发，剖析错误原因，给出几种解法，强调不等式运算中 “同解变形”的重要性.

关键词：不等式运算;“同解变形”;关键

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0086-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：田加贵（1963.1-），男，四川省乐山人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

高一学生在刚进入高中学习时，学习了一些简单的不等式知识，对于不等式的性质和运算往往用等式的性质和运算来操作，而且出现了错误后还不清楚错在什么地方，笔者近期在为学生布置课后练习时，有这样一道练习题：

题目已知实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.

（1）求实数a，b的取值范围;

（2）求3a-2b的取值范围.

对于这道练习题，有的学生做出了结果，但解答是不正确的，有些学生解答的结果本身就是错误的，这些学生还不知道是为什么，自已也找不出原因，这究竟是怎么回事呢？下面列举两种典型的错误作一点分析，并对原题给出几种解答，仅供参考.

错解1（1） 因为 -3≤a+b≤2，①

-1≤a-b≤4，②

①＋②，得-4≤2a≤6.

即-2≤a≤3.

所以实数a的取值范围为［-2，3］.

由②得 -4≤-a+b≤1. ③

①＋③，得 -7≤2b≤3.

即-72≤b≤32.

所以实数b的取值范围为［-72，32］.

（2） 由（1）有 -2≤a≤3.

即-6≤3a≤9 .④

由（1）有 -7≤2b≤3 .

即-3≤-2b≤7 .⑤

④＋⑤，得-9≤3a-2b≤16.

所以3a-2b的取值范围为［-9，16］.

错解2 （1） 同上（略）.

（2） 由（1）有 -2≤a≤3. ⑥

由②得-2≤2a-2b≤8. ⑦

⑥＋⑦，得-4≤3a-2b≤11.

所以3a-2b的取值范围为［-4，11］.

错误原因1对于（1）问，在进行一些同向不等式相加时， 不是同解变形.

由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4得到-4≤2a≤6，-7≤2b≤3，

即-2≤a≤3，-72≤b≤32.

由于结果是单独要求实数a，b的取值范围，所以无可厚非.对于（2）问，由于在运算中，应用了（1）问的非同解变形的结果或再一次进行了非同解变形运算，从而造成错误解答. 也就是说不应当利用扩大了范围的结果或行为进行后续运算.

错误原因2前一解法的（2）问，属于推理错误，结果错误；后一解法的（2）问，属于推理错误，结果正确.

错误原因3前一解法的（2）问，得到

-2≤a≤3，-72≤b≤32，

不妨取a=3， b=1，则有a+b=4.

显然不满足-3≤a+b≤2.

后一解法的（2）问，也是利用了由

-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，

得到-4≤2a≤6.即-2≤a≤3.

这种在非同解变形的条件下，表面上得到了正确结果，但这只是一种巧合而已.

因为a并不能在［-2，3］上任意取值，这是由于b还不确定；再者如果按照这种推理，由-2≤a≤3 得-3≤-a≤2，

又由-3≤-a≤2和-3≤a+b≤2可得-6≤b≤4，

这样由-2≤a≤3和-6≤b≤4可得-8≤a+b≤7，这还是-3≤a+b≤2吗？

错误原因4得到的-2≤a≤3，-72≤b≤32，不表示题中的实数a，b可各自在［-2，3］和［-72，32］内任意取值.

错误原因5得到的-2≤a≤3，-72≤b≤32，应当理解为：

对于任意给定的

（a+b）∈［-3，2］和（a-b）∈［-1，4］，

存在a∈［-2，3］和b∈［-72，32］， 使得-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.

正解1（1） 同上（略）.

（2）（待定系数法）

设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）

=（m+n）a+（m-n）b，

令m+n=3，m-n=-2，

得m=12，n=52.

所以3a-2b=12（a+b）+52（a-b）.

由-3≤a+b≤2，得

-32≤12（a+b）≤1.

由-1≤a-b≤4，得

-52≤52（a-b）≤10.

所以-4≤12（a+b）+52（a-b）≤11.

所以3a-2b的取值范圍为［-4，11］.

正解2（1） 同上（略）.

（2）（换元法）

设a+b=A， a-b=B， 则

-3≤A≤2，-1≤B≤4.

由a+b=A，a-b=B，

得a=A+B2，b=A-B2.

所以3a-2b=3·A+B2-2·A-B2=12A+52B.

由-3≤A≤2得

-32≤12A≤1.

由-1≤B≤4得

-52≤52B≤10.所以 -4≤12A+52B≤11.

所以3a-2b的取值范圍为［-4，11］.

正解3（1） 同上（略）.

（2）（构造法）

由-3≤a+b≤2有

-94≤34a+34b≤32.

由-1≤a-b≤4有

-34≤34a-34b≤3.

构造函数f（x）=34ax2+34bx，则

F（x）=f（x）x=34ax+34b（x≠0）.

得F（x）=34ax+34b为直线方程.

故（-1，F（-1）） ， （1，F（1））， （-32，F（-32））为直线上的三点，

因为以上三点其任意两点连线斜率相等， 即

F（-32）-F（1）-32-1=F（-1）-F（1）-1-1.

化简，得F（-32）=54F（-1）-14F（1）.

因为F（-1）=f（-1）-1，F（-32）=f（-32）-32，

F（1）=f（1）1，

所以 f（-32）-32=F（-32）=54F（-1）-14F（1）=-54f（-1）-14f（1）.

故f（-32）=158f（-1）+38f（1）.

而 -34≤f（-1）≤3， -94≤f（1）≤32，

所以 -4532≤158f（-1）≤458，

-2732≤38f（1）≤916.

所以 -94≤f（-32）≤9916.

即-94≤916（3a-2b）≤9916.

即-4≤3a-2b≤11.

正解4 （1） 同上（略）.

（2）（数形结合法）

因为在平面直角坐标系aOb中，

满足不等式-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4的实数a，b的值构成的点（a，b）形成图1阴影区域.

图1图2

令k=3a-2b，

由-3=a+b，-1=a-b，

得a=-2，b=-1.

由a+b=2，a-b=4，

得a=3，b=-1.

当a=-2，b=-1时，得

kmin=3×（-2）-2×（-1）=-4.

当a=3，b=-1时，得

kmax=3×3-2×（-1）=11.

所以 -4≤k≤11.

即-4≤3a-2b≤11.

从解法4，我们很容易看出，满足不等式-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4的实数a，b的值构成的点（a，b）只能是（图1）中阴影部分内的点，而问题（1）得到的-2≤a≤3，-72≤b≤32构成的点（a，b）还可能是（图2）中阴影部分内的点，这些点在我们进行不等式变形运算过程中乘虚而入，比如a=-2，b=32时，3a-2b=-9，明显-9［-4，11］，所以，在不等式运算过程中，由于不等式的算理算法并不象等式运算一样很容易做到“同解变形”， 虽然许多运算都符合不等式的运算性质，但是稍不留心就会出错，因些，在进行不等式运算时，需要特别注意“同解变形”这个关键问题.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.