以数解形，让数形结合思想更加丰满

吕立峰

【摘   要】数形结合是研究“数式”与“图像”之间对应关系和转化关系，“以形助数”和“以数解形”是其内涵的两个基本维度。针对教学中普遍存在的重“以形助数”而轻“以数解形”的课堂现象，从理念和内容两个层面对此现象进行归因分析，并以《数与形》一课为例，描述了忽视“以数解形”教学价值的课堂容易出现的尴尬现象。结合教学实践，架构了以“以数解形”为基本理念的课堂实施路径，提出了“三环六步”的教学策略，为“数形结合”思想的真正落实做出了有益的尝试。

【关键词】以数解形；数形结合；数与形

“数”与“形”是数学中最基本的研究对象。数形结合思想就是把“数”和“形”结合起来，用统一的观点来研究解决某一数学问题，即运用“数”与“式”来精确地刻画、研究“形”，借助“形”的直观来理解抽象的“数”，直观与抽象相互配合，达到优势互补、取长补短的效用，从而有效地解决问题。这里的“数”是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，文中统称为“数式”。这里的“形”主要是指几何图形和函数图像等，文中统称为“图像”。数形结合思想有两个维度的内涵，分别是“以形助数”和“以数解形”。

什么是以形助数？以形助数一般是指借助图像的直观性来表达数式的数量关系。如图1中，从右往左看，“5×4＝20（平方厘米）”的数式所表示的意义可以用“每行有5个1平方厘米的面积单位，有这样的4行”所构成的长方形的面积来表征，这就是以形助数。

什么是以数解形？以数解形是指借助数式的精确化来刻画图像的某些属性。如图1中，从左往右看，“每行有5个1平方厘米的面积单位，有这样的4行面积单位”所构成的长方形的面积可以用“5×4＝20（平方厘米）”这个数式来表征，这就是以数解形。

在数式和图像的相互表征过程中，教师可以帮助学生建立“数与形”的对应关系。

一、“两维内涵”产生偏颇的归因分析

“以形助数”和“以数解形”是有关联、可互逆、相辅相成的教学方式。但在实际教学中，情况并非如此，教师注重“以形助数”的教学实践，忽视“以数解形”的教学价值，已然成为当下“數形结合”思想真正落实的障碍。那么“以形助数”和“以数解形”两维内涵产生偏颇的原因是什么呢？

（一）理念层面：几何直观内涵指向“以形助数”

《义务教育数学课程标准（2022年版）》的“课程目标”部分，提出小学阶段11个核心素养的主要表现，“几何直观”便是其中之一。几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。在其内涵描述中，特别强调“根据语言描述画出相应的图形；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路”。几何直观的这些内涵无一不指向“以形助数”的教学方式。教师对几何直观的理解、把握和应用都是不折不扣的。因此，教师在日常中便养成了“先出数式，后画图像”的教学习惯。

（二）内容层面：“以形助数”教学内容极为丰富

从对国内现行各个版本的数学教材中与“数形结合”有关的教学内容分析来看，“以形助数”的教学内容都是极为丰富的。以人教版数学教材“数与代数”领域为例，从数的认识到数的运算，从探索规律到解决问题，几乎都在践行“以形助数”的教学思路（如表1）。对丰富的“以形助数”教学内容的长期教学，很容易让教师形成“先出数式，后画图像”的教学习惯。

二、“两维内涵”产生偏颇的课堂尴尬

课程理念的指引和教材内容的呈现方式都让教师在教学时一味注重“以形助数”的教学设计与思考，对“以数解形”的教学价值相对忽视。殊不知，数形结合两维内涵偏颇的课堂很容易产生尴尬，暴露问题。笔者以人教版教材六年级上册《数与形》例1为例来作一些说明。

笔者在近两年一共听过18节同课异构的《数与形》，其中有12位教师选择用“以形助数”的方式展开教学。具体来说，教师在课的起始阶段，都是先呈现类似于“1+3+5+7”这样的“从1开始连续若干个奇数的和”的数式，再让学生借助图像来直观表征算式的意义。学生面对“从1开始连续若干个奇数的和”的数式是怎样表征的呢？从学生表征的图像样式来看，形式非常单一，学生画出来的图像基本上只有横向摆放的“线型”和纵向摆放的“三角形型”两种（如图2）。很显然，用这些图像进行表征并不能有效推进课堂教学。在对教师的访谈中得知，执教者试图用“以形助数”的方式展开教学，希望学生能够呈现“正方形型”的图像，有了这份素材，其他学生就能用直观的方式发现类似于“1+3+5+7”这样的数式就是一个正方形数。然而，笔者曾对42名学生的前测情况进行分析，发现只有4名学生能摆出符合这一数列本质的图像。在对学生的访谈中发现，其中1名学生是在课外辅导班中提前习得这个知识点的，另有3名学生则是在翻阅教科书的时候无意中看到过这个图像。在这样的现实面前，教师只能尴尬地把“正方形型”图像直接“给予”学生，并告诉他们“这样的数式还可以用正方形摆放出来”。

上述“数与形”的案例，很清楚地展示了一味采用“以形助数”的方式展开教学容易产生的问题，即用图像表征数式的结果单一趋同，无法反映出数式的本质属性。

三、“两维内涵”保持平衡的教学策略

在实际教学中，如何保持数形结合两维内涵的平衡呢？首先看“以形助数”这个维度，因为有了几何直观内涵的不断渗透以及丰富教学内容的反复出现，所以“以形助数”教学行为的落地是完全可以得到保证的。然后看“以数解形”这个维度，如何让教师在关联“数形结合”的教学内容中强化“以数解形”的设计理念和课堂行为呢？在具体的课例中探寻实施路径和教学策略是最为重要的。以《数与形》例1为例，在课堂教学中采用“三环六步”的教学路径和策略（如图3），把“以数解形”的设计理念和行为落到实处。

（一）第一环：多维视角，构造丰富数式

1.第1步，改造教材原图

教材“序”是“先出图像，再写数式”，但是很多教師会主动改变教材“序”，选择“以形助数”的教学“序”展开。教师的这种主动改变，除了上述分析的原因外，还有一个非常关键的因素，那就是教材中呈现的图像。教材中的图像是用若干个小正方形密铺成大正方形来表征“平方数”的，实践证明采用教材原图，大多数学生只会从横向和纵向两个角度进行观察，只会用“同数连加”的数式来表征小正方形的总个数。如果想要让学生从“7字形”的角度进行观察，得出符合正方形数特征的加法数式，那么就要对教材原图进行改造。笔者尝试把教材原图改造成了一个用若干小圆形拼成的方阵图（如图4），收到了很好的效果。

2.第2步，构造丰富数式

改造之后的方阵图构图简单、取材容易、操作方便（师生可以直接用小磁扣在黑板上摆放和演示），更为重要的是改造之后的方阵图比原图更加便于学生从多角度进行观察。课堂上，学生围绕改造之后的方阵图，从不同的角度观察，构造出了不同的加法数式。学生的作品如表2。

（二）第二环：数形互表，解释数式本质

1.第3步，聚焦重点数式

教师通过方阵图呈现学习材料，让学生自主构造数式。学生从六个角度进行了观察，一共构造出五个加法数式（如表2）。这五个数式中，全部学生都能构造出“5+5+5+5+5”，事实上这属于低年级学生也应具备的能力，本节课无须过多回应。而“1+8+16”或“16+8+1”只有48.1%的学生能够构造出来，且“回字形”视角构造的数式模型是不稳定的，因为它会随着方阵图边长（每条边上的圆片数）的奇偶性不同而变化，这个数式模型更适合在初中阶段进行研究。在剩余的三个数式，即作品③、作品④和作品⑥中，教师引导学生聚焦作品④的“1+3+5+7+9”这个重点数式，因为只有它才真正体现出正方形数的本质特征。

2.第4步，表征数式本质

正方形数的数式本质主要是数列的首项是1，公差为2，概括起来就是“从1开始连续若干个奇数的和就是正方形数”。笔者通过两个问题的驱动引导学生自主探究，表征数式特征。

【片段1】研究“正方形数”的特征

师：如果继续在“7字形”方阵图外围摆放小圆片，至少需要摆几个才能拼成一个更大的方阵？

生：每次摆放的比前一次多2个就可以了。

师：你能通过摆一摆或画一画的方法具体说明吗？

生：（边比画图5，边说明）“1+3+5+7+9”这个式子后面加11，我们刚才用9个小圆片去围，结果发现要围成更大的方阵一定还缺2个（学生边说边指着两个黑色小圆片）。所以增加的小圆片数量至少应该是“前一个加数多2”。

师：继续往下摆呢？

生：按照同样的方法继续往下摆，需要增加的小圆片数都是“前一个加数多2”。

师：一个正方形数如果去掉第一个加数1，剩余的小圆片还能摆成一个方阵图吗？

（学生不停地摆放圆片，尝试摆方阵图，部分学生作品如图6。）

师：你们的努力成功了吗？

生：没有，只要拿走1个，剩下的小圆片永远都摆不成一个方阵。

师：这说明什么问题呢？

生：任何两个正方形数的差都不可能是1。

师：通过刚才的两次操作活动，你认为怎样的加法数式才是正方形数呢？

生：从1开始连续若干个奇数的和才是一个正方形数。

通过上述两次操作活动，学生利用图像的直观表征，顺利地掌握了正方形数的本质特征，即正方形数就是首项为1，公差为2的一组数列。

（三）类比关联，拓展数式模型

1.第5步，由此及彼，关联新数式

类比是一种推理思想，以“从1开始连续若干个奇数的和”为基点，学生能想到什么呢？学生通常会提出这样两个问题：第一个问题是从2开始连续若干个偶数的和是“什么数”？第二个问题是从1开始连续若干个自然数的和是“什么数”？通过类比推理，学生会从正方形数出发，主动关联“2+4+6+8+10+……”和“1+2+3+4+5+……”这样两个新数式。

2.第6步，图像变形，表征新数式

学生的两个问题引出了两个新的数式，对新数式的表征过程也让图像变形成为了可能。师生对“作品③”和“作品⑥”（如表2）两份课堂生成资源的充分利用，便让这种可能性成为了现实。

【片段2】研究“长方形数”的特征

师：“从2开始连续若干个偶数的和”会是怎样的呢？请大家观察刚才的作品③和作品⑥，思考该如何解决这个问题。请把你的想法画出来。

（在学生思考和交流之后，教师选择了三幅有代表性的作品，带领学生经历了解决问题的过程。图7中，图像下面的数式是教师根据学生的表述相机写的，这可以使研究过程更加清晰。）

师：通过刚才的研究，你知道了什么？

生：我们小组发现，从2开始连续若干个偶数的和是一个“长方形数”，而且“长方形图”中的“长”和“宽”相差1。它们的和＝项数×（项数+1）。

师：“项数”和“项数+1”分别表示什么？

生：“项数”在数式中表示偶数的个数，“项数+1”表示比偶数个数多1。“项数”在图形中表示长方形的宽所包含的小圆片个数，“项数+1”则表示长方形的长所包含的小圆片个数。

【片段3】研究“三角形数”的特征

师：“从1开始连续若干个自然数的和”又会是怎样的呢？请大家用刚才的方法，想一想该如何解决这个问题？请把你的想法画出来。

（在学生思考和交流之后，教师选择了两幅有代表性的作品，带领学生经历了解决问题的过程。图8中，图像下面的数式是教师根据学生的表述相机写的，这可以使研究过程更加清晰。）

师：通过刚才的研究，你知道了什么？

生：我们发现，从1开始连续若干个自然数的和是一个“三角形数”。它们的和＝项数×（项数+1）÷2。

师：“项数”和“项数+1”分别表示什么？

生：“项数”在数式中表示自然数的个数，“项数+1”表示比自然数的个数多1。“项数”在图形中表示三角形的底所包含的小圆片的个数，“项数+1”表示比三角形的高所包含的小圆片的个数多1。

【片段4】研究“正方形数、长方形数和三角形数”的关系

师：我们一起来观察正方形数、长方形数和三角形数，你们又有什么发现呢？

生：两个完全一样的三角形数可以组成一个长方形数。

生：两个相邻的三角形数可以组成一个正方形数。

生：正方形数加上它的末项就是一个长方形数。

（教师根据学生的回答，用课件呈现三者之间相互关联的结构图，如图9。）

通过上述的思考与实践，不难看出，重视“以数解形”，可以创生出丰富多元的数式表征，可以为学生提供更多合作学习的机会，可以让知识间的关联更加自然和丰富。当然，我们也要清醒地认识到，数形结合思想中，基础是数形对应，关键是数形转化，“数”与“形”相辅相成，不能偏颇。故有“数无形时少直觉，形少数时难入微”的说法。

参考文献：

［1］曹培英.“数学广角”教学的系列研究（八）［J］.小学数学教育，2018（4）.

［2］葛素儿.通过图像表征促进小学数学理解教学［J］.课程教学研究，2012（12）.

［3］钟启泉.课程的逻辑［M］.上海：华东师范大学出版社，2008.

［4］史宁中.数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016.

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