关注“平均变化率”速解函数应用问题

摘要：“平均变化率”是一个容易被忽略的知识点，其在有关函数单调性、圆锥曲线、直线斜率等方面有着重要的应用，在有关函数问题中渗透“平均变化率”知识，能够化繁为简，更好地解决一些复杂的函数问题，助力学生自主学习和探究的效率，培养学生的数学思想，促进学生数学综合水平的提升.本文对“平均变化率”在高中数学函数问题中的应用进行分析，并提出一些常用的解题方法.

关键词：平均变化率；函数应用；圆锥曲线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0071-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：刘瑛（1981.2-），女，甘肃省陇南礼县人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

随着核心素养的提出，与图象有关的函数应用问题是近年高考数学的热点，这类问题往往考查学生对函数自变量和因变量变化情况的分析能力，在解题中借助“平均变化率”达到简洁求解之目的，有利于培养学生数形结合的能力以及数学的应用意识.

1 理论阐述

我们必须熟练掌握关于“平均变化率”的几个具体类型及其特点.如图1，结合两个直角三角形，易得随着自变量的增大，因为图中水平虚线段长相等时，对应竖虚线段长越来越短，所以当自变量的增量（Δx）相同时，因变量的增量（Δy）越来越小.这时，我們就称“平均变化率”（ΔyΔx）越来越小.图1图2图3

类似分析可得，图2对应“平均变化率”越来越小；图3、图4对应“平均变化率”越来越大；图5、图6对应“平均变化率”不变.

2 应用举例

“平均变化率”的特征比较明显，学生易于掌握，教师引导学图7生明确上述图形及其相关特点，在具体问题中应该结合“平均变化率”的实际特点，将数学问题转化为“平均变化率”问题，则求解此类相关问题即可达“事半功倍”之效.

2.1 具体求解，不涉及分类讨论

例1如图7所示，现有一个计时漏斗，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀漏下，经过5分钟漏完，h（厘米）是该沙漏中沙面下降的高度，则h与下漏时间t（分钟）的函数关系式用图象表示应该是（ ）.

解析开始时沙子的高度变化很缓慢，随着沙面的下降，高度变化越来越快，即随时间t的增大，下降高度的平均变化率（ΔhΔt）越来越大，故易知应选B.

评注结合所给实物图形，理清整个实际变化过程是准确求解的切入点；其次，要注意学会观察、分析给定的函数图象.

牛刀小试1某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，现用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是（ ）.

解析由于学生离家去学校，且纵轴表示离学校的距离，所以选项A，C显然错误.再看选项B，D，由于一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，所以跑步时的“平均变化率”（ΔdΔt）较大，而走时的“平均变化率”（ΔdΔt）较小，据此结合图形即知应选B.

牛刀小试2已知

（x，y）是圆（x-2）2+（y-1）2=3上的动点，试求：y-1x+1的范围是多少？

解析y-1x+1的范围从曲线方程中不容易直接求得，这就可以运用平均变化率相关内容，将所求问题转化为斜率问题，则y-1x+1的范围可以看作是（x-2）2+（y-1）2=3上的点与点（-1，1）连线的斜率，于是可以令这条直线的斜率为k，那么圆上的点与点（-1，1）所确定直线方程为y-1=k（x+1）.

化简，得kx-y+k+1=0.

因为2k-1+k+1k2+1≤3，

所以（x-2）2+（y-1）2=3上的点与点

（-1，1）连线的斜率范围为-22≤k≤22.

即y-1x+1的范围是-22，22.

2.2 具体求解，涉及分类讨论

例2如图10所示，直角梯形ABCO中，AB∥OC，BC⊥OC，AB=1，OC=BC=2，直线l：x=t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S=

ft的图象大致为（ ） .

解析当0≤t≤1时，随着直线l向右匀速运动，图形面积的增加量是越来越大的，即图形面积的平均变化率（ΔSΔt）越来越大.

当1

综上，易知选项C正确.

评注本题灵活运用“平均变化率”进行分析，是最为简单的求解方法.一般解题思路：先结合图形，根据题意求得S=ft=t2，0≤t≤1，2t-1，1

图12牛刀小试3如图12所示，单位圆中AB的长为x，fx表示AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=fx的图象是（ ）.

解析当0≤x≤π时，随着x的增大，fx的值也越来越大，且满足平均变化率Δf（x）Δx越来越大.

当π

综上，易知选项D正确.

牛刀小试4x1，x2是函数f（x）上不重合的两个点的横坐标，当x1≥1，x2≥1并且x1≠x2的时候，不等式f（x2）-f（x1）x2-x1>0恒成立，则使得不等式f（2a-3）

解析由于x1≥1，x2≥1，且x1≠x2，f（x2）-f（x1）x2-x1>0，即可以得出函数f（x）在区间[1，）上是单调递增函数，使得不等式f（2a-3）

因此，使得不等式f（2a-3）

总之，从数形结合的角度，准确理解、掌握描述两个变量之间的变化关系的量——“平均变化率”，可帮助我们顺利求解以图形为载体，考查有关函数的实际应用问题，进而增强学生的识图、用图能力，有利于较好地培养学生的直观想象能力以及推理、判断能力.

参考文献：

［1］高敏，黄安成.就《平均变化率》的教学谈数学教师的创造性[J].中学数学，2008（11）：1-5.

[2] 夏志辉.打磨核心教学细节追求高效数学课堂——《平均变化率》的磨课实践和体悟[J].中学数学，2013（11）：4-7.