例析求解二面角问题的几种路径

王功

二面角问题比较常见，侧重于考查二面角及其平面角的定义，常见的命题形式是根据已知的边角关系，求二面角的大小或其余弦值．这类问题主要考查同学们的空间想象和分析推理能力，下面结合实例，谈一谈求解二面角问题的几种路径．

一、构建空间向量

若立体几何图形为规则的图形，或几何图形中含有垂直的关系，则可根据图形的特点构建空间直角坐标系，通过构造空间向量来解题．分别求得二面角的两个半平面上点的坐标、直线的方向向量以及得两个半平面的法向量n1、、n2，便可根据空间向量的夹角公式

运用向量法求解二面角问题，关键在于根据几何图形的特点，建立合适的空间直角坐标系．通常可以矩形的一个顶点为坐标原点，也可以等腰三角形底边的中点为原点，还可以两条相互垂直的直线的交点为原点，等等，来建立空间直角坐标系．在构建出空间向量后，需根据直线与平面垂直的判定定理：若直线垂直于平面内的两条直线，则直线与平面垂直，来建立关系式，求得二面角的两个半平面的法向量．

二、利用定义法

由从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的大小通常用其平面角的大小来表示，在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于公共棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．运用定义法求解二面角问题，需先根据二面角的平面角的定义，找出两个半平面与其公共棱长，并作出与棱垂直的射线；然后通过平移线段，使两射线交于一点，以构造出直角三角形；最后利用正余弦定理、勾股定理，求得二面角的平面角的大小．

我们首先根据二面角的平面角的定义，分别在平面BPC和平面PCD内，作出与棱PC垂直的两条直线；然后利用线面垂直的定义和性质，证明直线PC⊥DH、BH ⊥PC，即可确定二面角的平面角为LBHD；再在△BHD中，运用余弦定理求出∠BHD的余弦值，就能得到问题的答案．

三、运用射影法

运用射影法求二面角，需求得一个半平面的面积与其在另一个半平面内射影的面积之比，该比值（在[o，1]范圍内）即为二面角或其补角的余弦值．若在二面角的一个半平面内容易找到另一个半平面内的射影，则可考虑运用射影法求解．

由题意可得出BC⊥平面PAC，即B在平面ACP内的射影为E，这就是说平面APB在平面APC内的射影为△APC．添加合适的辅助线，求得两个三角形△ACE与△ABE的面积的比值，即可根据射影法求得二面角的大小．

相比较而言，定义法的适用范围较广，向量法、射影法的适用范围较窄．同学们在解题时，要学会根据已知的图形和边角关系来构建向量，合理添加辅助线，寻找射影，运用定义法、向量法、射影法来求得二面角的大小．

（作者单位：甘肃省白银市靖远县第二中学）