一类导数压轴题的解法

摘要：一类同时含有xex和lnx的求参数取值范围的函数题可以有多种解法，但是最简洁的解法是借助对数恒等式xex=ex+lnx和不等式ex≥x+1，采取切线放缩求解.题目往往形式隐蔽，对数变形和运算较抽象，不经深入研究，不强化训练，难以应对异形同质的题目.

关键词：对数恒等式；切线放缩；导数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0013-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：李昌成（1977-），男，四川省资阳人，本科，中学正高级教师，从事中学数学教学研究.

1 发现问题

近期在研究全国各地模拟考试或统考题目发现，一类同时含有xex和lnx的求参数取值范围的函数题目，它们可以用分离参数构造函数等常规解法作答，但解答过程繁杂.仔细研究，这类题有其自身的结构特征，宜使用切线放缩法解答.

2 典例研究

例1（湖北省部分重点中学2022届高三第二次联考第22题）已知函数f（x）=xex+12ax2+ax（x∈R）.若关于x的不等式f（x）≥12ax2+4ax+lnx+1在（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围.

分析本题通常可以采取分离参数求最值得参数范围，但计算量较大.本题中有特征项“xex”，因此可以将f（x）=xex+12ax2+ax代入f（x）≥12ax2+4ax+lnx+1，得xex+12ax2+ax≥12ax2+4ax+lnx+1.整理，得xex-3ax-lnx-1≥0.结合xex=ex+lnx及ex≥x+1，可以通过切线放缩求解.

解析将f（x）=xex+12ax2+ax代入f（x）≥12ax2+4ax+lnx+1，得

xex+12ax2+ax≥12ax2+4ax+lnx+1.

整理，得xex-3ax-lnx-1≥0.

令h（x）=xex-3ax-lnx-1，

则h（x）≥0恒成立.

因为xex=elnx·ex=ex+lnx，

所以h（x）=ex+lnx-3ax-lnx-1.

因为ex≥x+1，

所以h（x）≥（x+lnx+1）-3ax-lnx-1.

即h（x）≥x-3ax.

所以x-3ax≥0恒成立 .

解得a≤13.

例2（重庆市一中2022届高三上学期期中考试第16题）已知函数f（x）的导函数f ′（x）满足

f ′（x）-f（x）=e2x，且f（0）=1，當x∈（0，+）时，x［f（x）-a］≥1+lnx恒成立，则实数a的取值范围是.

分析由f ′（x）-f（x）=e2x知f（x）=e2x，根据条件“x［f（x）-a］≥1+lnx”可以导出特征项“xe2x”，所以适合用切线放缩法解答.

解析因为（enx）′=nenx，

所以f ′（x）-f（x）=e2x=2e2x-e2x.

由同构原理，得f（x）=e2x.

所以x［f（x）-a］=x（e2x-a）=xe2x-ax.

结合x［f（x）-a］≥1+lnx，得

xe2x-ax≥1+lnx.

因为xe2x=elnx·e2x=e2x+lnx，

所以e2x+lnx-ax-lnx-1≥0.

因为e2x+lnx≥2x+lnx+1，

所以（2x+lnx+1）-ax-lnx-1≥0.

即2x-ax≥0.

所以a≤2.

例3（西南大学附属中学2022届高三第一学期期末考试理科第22题）对于任意的x∈（0，+∞），lnx+2ax+1≤xe3x恒成立，求实数a的取值范围.

分析本题易于分离参数，然后利用xex=ex+lnx及ex≥x+1，放缩的同时构造新函数，可求得参数的取值范围.

解析由lnx+2ax+1≤xe3x，x∈（0，+∞），

所以a≤xe3x-lnx-12x.

因为xe3x=elnx·e3x=e3x+lnx，

所以xe3x-lnx-1=e3x+lnx-lnx-1

≥（3x+lnx+1）-lnx-1

=3x.

则xe3x-lnx-12x≥3x2x=32.

所以a≤32.

评析以上三例均含有（或变形得）xex和lnx+1，处理的办法雷同，恒等变形、放缩、求最值，套路明显.其本质特征是若xex和lnx+1在不等式的异侧，则xex的系数与lnx的真数的系数相反，当不具有这种特征时，解法失效.理由为：λxex=elnλx·ex=ex+lnλx≥x+lnλx+1，所以λxex-lnλx-1=λex+lnx-lnλx-1=λex+lnx才能整体消元.一般取λ=1.这样题目显得简洁明了，也不影响问题的本质.下面举一个形似质异的题目，以示区别.

例4（河南省洛阳市2022届高三第一次统一考试理科第12题）已知函数f（x）=xa-alnx（a>0），g（x）=ex-x，若x∈（1，e2）时，f（x）≤g（x）成立，则实数a的最大值是（）.

A.eB.2eC.12eD.-e

分析表面上题设中也含有ex，lnx等，但不具有上述特征，需用其他办法解答.观察两函数的结构，非常相似，比较其差异可以发现alnx在f（x）中的“角色”与x在g（x）中“角色”一致，因此要在f（x）的函数形式上下功夫，结合对数恒等式是可以实现形式统一的.

解析因为x=elnx，

所以xa=（elnx）a=ealnx.

因此f（x）=ealnx-alnx=g（alnx）.

因为f（x）≤g（x），

所以g（alnx）≤g（x）.

因为g′（x）=ex-1，

当x∈（1，e2）时，g′（x）=ex-1>0，

所以g（x）在（1，e2）上单调递增.

所以alnx≤x.

当x∈（1，e2）时，lnx>0，

所以a≤xlnx.

令h（x）=xlnx，

则h′（x）=lnx-1ln2x.

当x∈（1，e）时，h′（x）<0；

当x∈（e，e2）时，h′（x）>0.

所以h（x）=xlnx在（1，e）上单调递减，在（e，e2）上单调递增.

因此h（x）min=e.所以a≤e.

故选A.

3 理论溯源

在人教A版（2005年版）普通高中课程标准实验教科书选修2-2第32页B组第1题的第3小题：证明ex>1+x（x≠0），并通过函数图象直观验证结论.

事实上，本题通过图象可得函数f（x）=ex与h（x）=1+x恰好相切于点（0，1），当x≠0时，f（x）的图象始终在h（x）的图象之上.俗称切线放缩.它的另一功能是实现了函数变换，减少或统一函数类型，方便于解题.

4 教学思考

4.1 教学应在公式的证明上下功夫对于x=elnx，教材是没有提及的，甚至恒等式alogax=x也没有提到.这需要教师在教学中进行严格认真地证明，而不是直接告诉学生结果，直接刷题“硬”用.这样不仅应用别扭，而且容易遗忘.素不知，这是定义的抽象应用，等式左边是以logax为指数，a为底数的指数式，右端可以看作幂，依据对数的定义可得alogax=xlogax=logax，并且对x的范围也没有限制，所以此式叫恒等式.仅需将a换成e，等式x=elnx就成立了.在教学中，我们发现学生对此不熟悉，更谈不上灵活应用，对xex=ex+lnx就更加陌生了.所以我们应在公式证明上下功夫.

4.2 教学应在公式的理解上下功夫对于ex≥1+x，我们应从形式和几何意义两方面进行深刻理解.这里的x可以换成任意的符号，均不影响不等式的正确性，例如en≥1+n将指数问题转换成数列了；esinx≥1+sinx将指数问题转换成三角函数了；elogax≥1+logax將指数问题转换成对数了.另外，从函数观点看，左端是曲线，右端是直线，并且二者具有相切关系，数形结合可以解决很多复杂的问题，尤其是与函数凸凹性相结合，是突破难题的一个杀手锏.例如2017年全国课标Ⅱ卷第21题：设函数f（x）=（1-x2）ex.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求实数a的取值范围．

对于（1）易得f（x）在（-∞，-1-2）上单调递减，在（-1-2，-1+2）上单调递增，在（-1+2，+∞）上单调递减.对于（2），f（x）显然在（0，+∞）上是凸函数，仅需求得f（x）在x=0处的切线斜率k，即为a的边界值，数形结合得a≥k.

4.3 教学应在变式教学上下功夫

变式教学有利于提高学生对知识的掌握与应用，达到触类旁通的水平，若就题讲题，将会把学生拖入无穷无尽的题海之中.本文研究了xex与lnx+x的转化问题，我们还可以思考exx能转换成什么.实际上exx=x-1ex=elnx-1ex=e-lnxex=ex-lnx.上述参数问题均可变式训练一下，有利于学生真正掌握本类问题.

参考文献：

［1］李昌成，林娜娜.找准切入点突破压轴题[J].中学生理科应试，2022（01）：13-14.

[2] 李昌成.一类参数取值范围问题的求解策略及思考[J].理科考试研究，2020，27（20）：20-22.