小学阶段数学抽象的渗透教学

慈艳

【编者按】高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性是数学的基本特征。要使学生会用数学的眼光观察现实世界，便要使他们在小学阶段就具备抽象的意识，积累抽象经验，为初中阶段形成抽象能力做好铺垫。在小学数学教学中，教师如何在教学中渗透数学抽象，使学生能够经历抽象的过程，感悟抽象的层次？本期话题对此展开探讨。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）将核心素养的特征表述为：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，又称“三会”。“三会”中的“数学的眼光”在数学核心素养体系构成中的一致性与阶段性见下表中的描述。

对于小学阶段数学抽象的渗透教学，我们首先要聚焦“三会”中的“数学的眼光”，因为它比数学抽象更高阶，并贯穿于数学教育的始终，在不同阶段有不同的表现。教师大体上可以这样把握：低学段基于感官，更具体、更侧重意识；高学段基于概念，更一般、更侧重观念和能力。那么，在小学阶段如何通过直观操作，积累相应的经验，经历抽象过程，进阶形成初中的抽象能力，高中的数学抽象呢？笔者基于“数感、量感、符号意识”在实践中所对应的“数与运算、图形的认识与测量、数与形”的教学，从核心学具、核心活动、数形表达三个方面对小学阶段的数学抽象渗透教学进行说明。

一、在“数与运算”教学中分阶段使用核心学具

数感是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。学生理解数先从直观的物开始，如两块糖、两辆车等，最终抽象为用“2”表达。因此，可选取分阶段、有层次、有代表的核心学具帮助学生在操作中有效积累数感经验。以下选取豆子、小棒、计数器、人民币模型，按顺序来说说使用方法。

数（shǔ）的活动在低年级一定要丰富，经历数的活动，让学生感受数（shù）源于数（shǔ），让他们数出层次。数豆活动帮助学生完成数量与数的直观对应，积累从直观到抽象的活动经验。小豆子的无规律给低年级学生的点数带来困难，适时要求学生“数出一堆十颗绿豆，可以兑换一颗大蚕豆”，帮助他们在数与换的活动中经历从直观到半抽象的过程，即“一颗”大蚕豆等于“十颗”小绿豆。

相较之下，数小棒更容易操作。小棒除了作为数数中积累活动经验的重要学具外，还是帮助学生直观理解加减运算的重要学具。凑十过程中一捆小棒的“一”表示一个“十”，从十个一到一个十，是计数单位的升级。此时，计数器出场，它能有效帮助学生感受具体数量十根小棒与计数器中半抽象的一颗十位上珠子间的对应关系，帮助学生在操作中感受数量间的加与减到半抽象计数器中的加与减，最终走进抽象的加减运算中。说明数源于数，算也源于数。数与运算是密不可分的，“数与运算”的内容虽然抽象，但学生分阶段使用核心学具在直观操作中积累了丰富的数感经验，这也是帮助学生形成抽象能力的基础，有助于学生理解数的意义和数量之间的关系，感受数学表达的简洁与精准。

计数器在“数与运算”中是帮助学生从直观走向抽象的桥。拨珠活动中“逢十进一”的过程，进“一”的一颗珠子可以抵“十”，这是由这颗珠子的位置决定的。数构成的核心：一为数字，二为数字所在的位置。通过操作计数器，学生感受到半抽象数的表达，最终抽象为数。计数器与人民币模型配合可以将数的领域扩展到小数范围。教师要利用人民币模型开展各种购物活动，帮助学生认识人民币，通过“花钱”培养学生的数感。人民币模型在“数与运算”的学习中出现频率极高，它“逢十进一”的特征能够帮助学生理解数的意义，理解算理与算法之间的关系，促使学生对数的认识从直观走向抽象。例如，整数学习中一元、十元、百元在计数器中对应个位、十位、百位；角、分对应十分位、百分位。这样的对应关系，将整数领域直观地扩展到小数领域，再经过数学推理扩展到千分位、万分位……学生也就从对人民币模型的认识进阶为抽象的小数认识。

核心学具是学生认知从直观走向抽象的重要抓手，学生通过核心学具的使用能够看到数的样态，如一堆豆子的颗数、几捆小棒的根数、几张人民币的表达。在利用学具实现具体表达的过程中，感知量的多少，获得将数的大小与量的多少进行对应的经验，这便是学生在直观操作中获得数感的过程。半抽象计数器的使用优势就在于让抽象的数在拨珠活动中变得直观，适合低段学生年龄特征。因为计数器表示数已经非常接近用十进位值制表达数了，它表达的数是珠子个数与珠子所在位置的结合，而数的组成是数字所在位置与数字的结合，计数器中拨珠表達出“半成品”的数。数的学习在直观与抽象的转化中“动”起来，计数器的使用不仅让学生体会到了数的增加与减少，还将满十进一的进位过程动态直观化，这些都是适合小学中低年段学生认知特点的学习方法。核心学具之间相辅相成、呈阶梯状螺旋上升配合使用，为学生理解数的意义和数量关系，进阶形成抽象能力做足准备。

二、在“图形的认识与测量”中按维度设计核心活动

量感指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。小学阶段长度、面积、体积、时间、质量等的学习过程都涉及量感经验的积累。在这些知识的学习中，我们发现学习过程越能让学生直接感知到，学生就越容易掌握知识本身的内在属性。因此，在量感经验积累的初期，要引领学生在直接感知中进行体验，体验越丰富，越容易形成量感经验，为进阶形成抽象能力提供坚实的基础。

为了便于说明，这里仅从“图形的认识与测量”中，按照维度设计核心活动来说明如何引领学生有效地在直观感知中积累量感经验。如“一维”长度中安排测量活动，“二维”面积中安排面积制作活动，“三维”体积中安排比较活动。让这些活动在不断地进阶互补中促成学生从直观操作中获得度量经验，进而形成量感，养成用定量的方法认识和解决实际问题的习惯，为更好地形成抽象能力和应用意识做好前期储备。《课程标准》中将图形的认识与测量统整在一起，让学生在测量活动中对物品及特征有了深刻感知，因此核心活动的设计目标要做到具有整体性、阶段性、一致性与核心性等特征。

在长度测量活动中可以先选择长方形桌面的长，经由各种工具进行测量，还可使用身体上的尺子拃、庹、步等，活动中学生自主感受并体会统一单位的必要性。统一单位后的测量活动以理解测量本质为目标，多段标准首尾相接进行累加，学生在这样的过程中也体会着刻度尺的制作原理。这时，再掌握测量方法就变得非常简单了。在测量物品长度的过程中认识厘米、分米、米、千米，形成长度表象。如选择1厘米作为长度标尺，测量本子的宽度；选择1分米的长度标尺和小组同学测量出桌面的宽度，根据测量经验估测桌面的长度；选择10米标尺测量操场的长度、宽度。活动中为学生准备标准的单位长度，目的是让学生对标准长度有直观的感知，配合身体上的尺子进行有效对比，形成联系，为测量经验的凝结和方法的运用做好准备。因此，在学习长度相关内容时，构建长度标准的表象，经历长度累加的过程，掌握测量长度的方法。一系列活动后，学生在直接感知中形成了度量经验，这就是设计核心活动的标准，为形成抽象能力做好前期准备。

标准长度单位的学习模式可有效迁移至面积，核心活动的设计本质指向对面积大小的感知。在核心活动中，学生制作1平方厘米、1平方分米、1平方米等面积单位，用标准面积尺先估后测物品表面的大小，有效帮助学生在制作与测量中形成面积大小的表象和测量面积的方法，理解面积单位的定义标准。学生在核心活动中感知边长1厘米、1分米、1米的正方形面积单位的定义，形成相邻单位进率是100的进率关系表象。后续拓展延伸对边长10米、100米、1000米的正方形面积单位十米2、百米2（公顷）、千米?的理解感知，让学生在已有经验的基础上通过抽象推理完善抽象意识，为形成抽象能力做好准备。

在体积与容积的学习中，选择可变形的水来设计核心活动。为了明晰升、毫升、立方分米、立方厘米之间的关系，教师可以首先从生活中容积为500毫升的矿泉水瓶子入手，让学生推测矿泉水的体积约是500立方厘米，建立体积与容积关系的初步表象。再借助变形、分解，帮助学生感知1立方厘米水就是1毫升水。教师可以准备边长为1分米的正方体透明容器，让学生猜测，此容器可装几瓶500毫升的矿泉水。在操作中认识1升水放到1立方分米的容器中刚刚好。这是从直观操作走向抽象表达1立方分米=1升=1000毫升。这些活动中形成的直观表象、过程中厘清的关系、操作中积累的量感经验都是建立量感的必要元素，为学生形成抽象能力提供经验基础。

三、利用“形”与“数”的配合表达落实符号意识

符号意识指能够感悟符号的数学功能。学生符号意识的培养需要数与形的相互配合。对于小学生而言，“形”的表达与视觉关联性较强，符号表达相对更加抽象，可以通过“形”的具体与“数”的抽象建立起联系。根据学生年龄特征，调动多感官各自发挥作用，有效帮助学生从具体的现实世界走进抽象的数学世界。培养学生的符号意识，使他们能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

教学中，我们可以通过“跷跷板活动”帮助学生从“形”的表达走向符号表达，从而激发符号意识。呈现三个孩子玩跷跷板的情境：小军将小牛翘起，小牛和小明保持平衡。那么，教师就可以引导学生用符号表达三者之间的重量关系：A>B、B=C。这里将学生看到的直观现象用数学符号表达出来。接下来，教师便可以引导学生运用这些符号表示数量、关系和一般规律，进入对运算规律的推理。那么，在没有画面感知的情况下，学生可以推出A>C、C=B。当加入D、E等小朋友时，符号的表达就会更加复杂，其中蕴含的信息也就更加多元。从一开始的直观表象，走進了数学符号层面的、具有一定难度的抽象推理。

数学源于生活并高于生活，天平是小学阶段常用的直观模型，在观察天平的活动中，学生可以把“形”转换成“数”。（如下图所示）

看似简单的算式中蕴含着等式的基本性质，为利用等式的基本性质解方程建构了直观表象。当然，图中还蕴含着简单运算律，说起运算律，这里还要补充说明的是，小学阶段符号意识的培养相对数感与量感培养而言，其难度是进阶生长的。因为在数感、量感的培养中，学生通常可以通过直观操作而获得体验，符合儿童的年龄特征，但符号意识的培养往往需要通过感知一定的规律而获得，而规律对于小学生而言，本身就具有一定的抽象性。我们最熟悉的例子就是乘法分配律，它是小学生的学习难点。有经验的教师会从生活中的具体实例，比如，通过桌椅、服饰套装等真实情境帮助学生有效积累生活经验，然后在乘法意义的基础上利用方格图，借由“形”的表达加以有效补充，经历这样的积累经验过程，为最终形成符号表达做足储备工作，在这样的过程中学生拥有了用符号表达具体事物的意识，完成了从具体到抽象，再从抽象回到具体的螺旋上升的思维成长通道。

（作者单位：北京市海淀区中关村第二小学）