三角形稳定性的数学本质与教法探索

任曦

［摘 要］三角形的稳定性出现在苏教版教材第八册中，在小学数学课程中它不是单设的一个课程，而是“认识三角形”内容的一个分支。三角形的稳定性这一性质有别于一般的几何性质，无法通过数学公式推导来证明，通常是通过制作三角形框架和四边形框架，让学生动手拉扯，用实践操作直观证实三角形具有稳定性，而四边形易变形。然而，这种操作活动并未从数学理论上推导出三角形具有稳定性。

［关键词］三角形；稳定性；本质；边长；全等

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）32-0024-03

如何理解三角形具有稳定性这一性质？通过查阅词典，笔者发现三角形稳定性中的“稳定”即“不易发生形变”的意思，与“松动”“易变形”的意思相对。

一、“三角形稳定性”的本质

1979年，美国两位学者发表了题为《图形的稳定性》的数学论文，对具有稳定性的几何图形做了系统的梳理和详细介绍：

由一个顶点O引出两条边后能得到一个几何角，如果边可以随意旋转，那么角O的大小、形状就会随之变化，这时图形不具备稳定性。但如果在这两条边上各找一个点，通过一条线段将这两个点（端点）的距离固定（如图1），也就是将PQ的长度固定，那么角O的开口大小就被两个端点的距离“固定”了。此时，几何图形OPQ就是一个三角形，角O的稳定性自然转移为三角形的稳定性。

如图2，在任意△ABC中，只要保持三边长度不变，那么任意一条边的长度都可视为连接对应角的两条边的端点的距离，那么三角形三个端点间的距离就不变。于是三角形就不会发生形变，所以三角形具有稳定性。

还有一篇关于平面图形稳定性的论文，进一步从几何公式的角度阐释了如何判断图形的稳定性：由拉曼图组成的几何图形才具有稳定性。拉曼图的定义为“在平面内具有稳定性的图形，其边和顶点的数量必须满足这样的数量关系，若顶点数为n，那么边数必为2n-3；若n≥3，那么任意两边的‘断点必须连接起来”。照此定义，任意一个几何多边形，只要充分连线，都可以转化为拉曼图。

通过计算可知，三角形的顶点数和边数符合拉曼图的定义，三角形是最简单的拉曼图。四邊形要获得几何稳定性，根据拉曼图原理，其必须建立4×2-3=5（条）线段。除了四边形所需的4条线段，为了连接不相邻的顶点，还要连接对角线，这样就将四边形分割成两个三角形。同理，五边形、六边形也是一样的操作方式。（如图3）

从理论根源上找到三角形具有稳定性的奥秘，才是对三角形稳定性的最深刻认识。

二、与相关知识的联系

“三角形的稳定性”在人教版教材中被编排在第八册第三章第二课时，是学生学完三角形所有概念后的学习内容。在这之前，学生已经对基本的几何图形及其运动形式有所了解，在第七册中又学习了四边形的易变性，为后续学习三角形的稳定性积累了经验。

但人教版教材在编排“梯形”的内容时，用梯子等稳固的物品引入梯形的概念就不妥当，容易传递梯形具有稳定性的错误信号，误导学生。“三角形的稳定性”是一个重要的性质，它是学生将来在中学学习全等三角形的判断的理论基础。虽然全等三角形的知识在小学不作学习要求，但是小学数学教师要具有前瞻性，合理地进行知识的渗透。

据史料记载，人类历史上首次提出并证明全等三角形的人是古希腊人泰勒斯。他是第一个应用了全等三角形判定定理的人。三百年后，欧几里得对全等概念做了系统阐述，其中有一条被称为万能判定定理的法则——彼此重合的物体是全等的。他还给出了全等三角形的三种判定方法：“角边角”“边边边”“角角边”。其中，“边边边”的判定方法与三角形的稳定性不谋而合，即如果三角形三边长度固定，那么三角形的形状也唯一确定。三角形稳定性的用途十分广泛，涉及地理、建筑、外交、军事、政治等领域。例如，要想形成稳定的外交关系，就要努力建立“三足鼎立，互为犄角”的外交关系。反之，要破坏稳定，则要破坏这种三角结构。

到了初中，学生的理论水平大幅提高，学生就会思考：为什么所有的几何图形中只有三角形存在全等的概念，而其他图形则没有这个提法？从而发现，因为三角形具有稳定性，而三角形稳定性的来源恰好可以作为全等的判定依据。所谓全等，实际上就是对三角形形状、大小的唯一性做出确认，在这个三角形的形体唯一性被确认后，按照这种“尺码”打造的任何三角形都是这个三角形的复制品，它们统统全等。也就是说，任意一个三角形的形态都是独一无二的，凡是相同者必然有符合促成其稳定性的全部特征。

三、教学设计思路

三角形的稳定性是三角形的本质属性，是客观存在的几何特征。教学目标可以确立为“探究三角形三边长度对三角形形状结构稳定性的影响”。要顺利完成教学目标，不妨让学生经历观察、猜想、验证、应用等数学过程，逐渐体会三角形的稳定性。

【第一环节】理解稳定性的概念

人教版教材对稳定性没有出具合理的权威解释，且编排的“梯形”内容还从稳固的实物中提炼出不稳定的梯形，这容易对学生造成负迁移。因此，在课堂引入阶段提出要求：请你解释什么是几何意义上的“稳定”，试着举出几个例子。目的是让学生领悟这里的“稳定”是指图形的形状、大小不变，为之后的研究扎根。

这一环节中，学生需要结合自身经验，先回顾什么是物体的稳定，再通过操作研究出三角形一边长短可以决定其对角的开口大小，探明三角形三边长短决定三角形的形状、大小，从而提出猜想。教师紧接着从角引入稳定性，提出类似“用两根长度固定的木棒做试验，想一想，如何添加学具才能制作一个大小不变的角？”的问题，启发学生想到用第三根木棒来固定，构成三角形。

【第二环节】学生观察和操作

通过“如果第三根木棒的长度有变化，角和组成的图形会发生什么变化？四人一组，交流和归纳自己的发现”这样的任务，让学生体会三角形三边长短决定了其形状大小，并联系前面提到的稳定概念，提出三角形具有稳定性的猜想。此外，可以让学生完成“用木棒拼摆各种不同的多边形，看看是否可以随意变形”“要使其具有稳定性，可以如何操作”等任务，让学生体验到三角形才是最稳定的基本几何图形。

学生观察图形的变化情况，发现三角形边、角、形三者之间的制约关系，发表观点并讨论。

【第三环节】验证猜想，得出结论

经过上一环节，学生已经明确三角形的形状由三边长短决定，本环节就只待证明。考虑到三角形的稳定性与全等三角形的关系，这一环节中教师应鼓励学生寻找更多成就了三角形的稳定性的因素。

【第四环节】三角形稳定性的应用

由于学生个体间存在差异，应用环节应分层设计任务，兼顾全体学生。针对后进生，设计诸如“寻找具有三角形稳定结构的物品”的活动；针对中等生，则设计诸如“设计具有三角形稳定性的物品并说明设计思路”的活动；针对优等生，则可将三角形的稳定性从几何领域引申到外交策略，实现学科融合。

例如，美国和朝鲜关系紧张，中国如何在保证自身安全的情况下，妥善处理与美国和朝鲜的关系？教师让学生分小组查阅资料，利用三角形的稳定性，想一想作为一名外交官，应如何处理与美国和朝鲜之间的外交关系。

三角形之所以具有稳定性是因为三边、三角相互制约，形成三足鼎立、互为犄角的局面，三边三角互相牵制。也就是说，三角形的角、边形成了“一荣俱荣，一损俱损”的联盟关系。以此类推，生活中凡是具有三方势力相互制约的情形，都可以形成稳定结构，比如三角关系、三脚架、三国外交等，这些都是对三角形稳定性的升华和拓展。

作业的层次可由学生自主选择，也可由教师根据课堂情况灵活处理，比如给出两个任务，由学生任选其一。因为学生的任务不相同，最好能留到课后完成，然后课上汇报交流。

在教学“三角形的稳定性”时，所有的数学活动既要符合学生的心理特征，又要契合数学本质规律，让学生的观察、操作等系列数学活动都能直击数学知识本质，从而深刻揭示三角形具有稳定性。

本节课的教学能让学生拥有更自由的探究空间。学完后，学生在知识方面有了很大的收获，包括三角形稳定性之外的全等，及决定三角形稳定性的因素等。在个人能力方面，既有独立思考，又有合作探究，在交流分享中学生的协作意识和交流意识得到提升。

值得強调的是，教学有法但无定法，教师需要根据实际情况，灵活选择适合自己和学生的教学方法。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 陈雪莲，陈惠芳.基于儿童视角  丰盈教学内涵： “三角形的认识”教学实录与评析[J].小学数学教育，2021（Z2）：118-121.

[2] 刘崑文，谭志俐.与理性精神完美相遇： “三角形的认识”教学实录及评析[J].湖南教育（C版），2020（12）：44-47.

[3] 刘慧，刘宪升.关于教材中三角形有关内容探索活动的设计研究（一）：三角形稳定性及三边关系探索活动的比较分析[J].小学教学参考，2020（32）：4-7，16.

（责编 吴美玲）