“同构法”巧解不等式恒成立问题

湖北省黄石市第一中学 杨瑞强 435000

若F(x)≥0 能 等价 变形 为f[g(x)] ≥f[h(x)] ，然后利用f(x)的单调性（如递增），再转化为g(x)≥h(x).在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时，我们可考虑采用“同构”的方法变形转化，构造函数，从而达到化难为易，删繁就简的功效.

1 积型aea ≤b ln b 同构

三种同构途径：①同左aea≤(lnb)elnb，构造函数f(x)=xex；②同右ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx；③取对数a+lna≤lnb+ln(lnb)，构造函数f(x)=x+lnx.

3 和差型ea±a ≤b±ln b 同构

两种同构途径：①同左ea±a≤elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；②同右ea±lnea≤b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.

例3 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范围.

练习:1.已知函数f(x)=aeax+1-lnx+1，且对任意x＞1，f(x)＞0 恒成立，则a的取值范围是（ ）.

2.若关于x的不等式ex-alnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为_____.

3. 对于任意实数x＞0 ，不等式2ae2xlnx+lna≥0 恒成立，求实数a的取值范围是_____.

（答案：1.A；2.[0,e]；3.a≥）

同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，在解题实践中，若能通过观察、分析、整理等手段，看清题中函数结构的共性或等式（不等式）两侧同构，则可轻松构造函数，巧妙利用函数单调性解题.而对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，有时也需要对两边同时加、乘某式，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，常用变形的方法有：x=elnx=ln ex、ln x 等.