相互作用的Brinkman方程组与Darcy方程组解在反应边界条件下的连续依赖性

石金诚, 夏建业

(1. 广州华商学院 数据科学学院, 广州511300； 2. 广东金融学院 数学与统计学院, 广州 510521)

0 引 言

非线性偏微分方程系统解的收敛性或连续依赖性问题通常称为结构稳定性. 在建模或测量过程中不可避免的存在误差, 结构稳定性的研究可为后续数值模拟提供理论基础. Ames等[1]系统地介绍了方程结构稳定性的本质; 文献[2-12]研究了区域中单一流体的结构稳定性, 但在实际应用中, 同一区域可能存在相互作用的多种流体, 因此有必要将结构稳定性的研究推广到同一区域中多个流体方程组的情形； Payne等[13]研究了多孔介质中相互作用两个流体方程组的结构稳定性, 建立了Brinkman方程组与Darcy方程组的解对界面边界系数的连续依赖性; Liu等[14-15]在此基础上得到了一些新结果. 受上述研究工作的启发, 本文继续讨论该类方程组的结构稳定性.

令平面z=x3=0的适当部分L表示在3中的有界区域Ω1和有界区域Ω2的公共界面,Ω1和Ω2边界的其余部分分别用Γ1和Γ2表示, 因此∂Ω1=Γ1∪L, ∂Ω2=Γ2∪L.

考虑下列初边值问题[16], 在Ω1×[0,τ]中讨论Brinkman流体方程组:

(1)

其中:ui,p,T分别表示速度、 压强和温度;Q(x),gi(x)和hi(x)为重力函数;λ为Forchheimer系数且λ>0; 假设gi,hi满足|h|,|g|≤M,|h|,|g|≤M,M是大于零的常数; Δ为Laplace算子;k为热扩散系数且k>0;Ω1是3中的一个有界单连通的强星形区域;τ是一个给定的常数且0≤τ<∞.在Ω2×[0,τ]中讨论Darcy流体方程组:

(2)

其中vi,q,S分别表示速度、 压强和温度,QS(x)为重力函数,kS为热扩散系数且kS>0,Ω2是3中一个有界单连通的强星形区域.边界条件为

(3)

(4)

其中fi(x),T0(x)均为已知函数.最后, 假设在界面上L×{t>0}满足条件:

(5)

其中β=1,2.

本文主要讨论方程组(1)～(5)的解对边界系数α的连续依赖性.与文献[14-15]的不同之处是此时温度满足反应边界条件, 在该边界条件下无法得到温度的最大值估计, 而原来的结果是建立在温度最大值估计的基础上.本文利用温度的四阶范数估计并巧妙结合Sobolev不等式得到所需的估计. 同时由于Darcy方程组不含Δvi项, 从而加大了处理速度梯度估计的难度.

1 先验界

引理1对于定义在强星形有界区域Ω上的可微函数H, 有如下边界估计：

(6)

其中m0,d0为大于零的常数,ε1为大于零的任意常数.

证明： 对于定义在强星形有界区域Ω上的可微函数H, 利用散度定理可得

(7)

(8)

由Schwarz不等式可得式(6).

引理2对于温度T和S, 有如下估计：

(9)

其中

k1为大于零的常数.

证明： 将方程组(1)中第三个不等式两边乘以2T, 并在Ω1×[0,t](t∈[0,τ])上积分, 可得

(10)

对于式(10)左边第一项, 由散度定理及式(3)和式(4), 可得

(11)

对于式(10)左边第二项, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

对于式(10)右边第一项, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

对于式(13), 由式(6)可得

同理, 将方程组(2)中第三个等式两边乘以2S, 并在Ω2×[0,t](t∈[0,τ])上积分, 可得

令

则

对式(18)从0到t积分, 可得

(19)

联合式(18)和式(19)可得式(9).

引理3对于温度T和S, 有如下四阶范数估计：

(20)

其中

k2为大于零的常数.

证明： 将方程组(1)中第三个等式两边乘以4T3, 并在Ω1×[0,t](t∈[0,τ])上积分, 可得

(21)

仿照引理2证明中式(10)～(15)的推导过程, 可得

同理, 对于S有如下估计:

(24)

其中

求解不等式(24), 可得

(25)

联合式(24)和式(25)可得式(20).

引理4对于任意连续可微的函数ψi, 有如下估计：

(26)

(27)

证明： 显然有

(28)

对于有界区域Ω, 有如下不等式成立:

(29)

其中:k0为大于零的常数, 且与Ω边界的Gauss曲率有关[17];ε3是大于零的任意常数.联合式(28)～(30), 可得

(31)

引理5对于速度vi, 有如下估计：

(32)

其中k4为大于零的常数.

证明： 将方程组(2)中第一个等式两边先对xj求偏导, 再乘以vi,j-vj,i, 最后在Ω2上积分, 可得

在推导式(33)时, 用到下列等式:

由于

所以式(33)可变为

(34)

在式(26)中当ψi=vi,Ω=Ω2时, 可得

(35)

引理6对于速度ui和vi, 有如下估计：

(36)

证明： 将方程组(1)的第一个等式两边乘以2ui, 并在Ω1上积分, 可得

(37)

对于式(37)右边第一项, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

对于式(37)右边第二项, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

联合式(37)～(39), 可得

将方程组(2)中第一个等式两边乘以2vi, 并在Ω2上积分, 可得

(41)

联合式(40)和式(41), 由Hölder不等式和算术几何平均不等式, 可得

求解式(42), 并由式(9)和式(20), 可得

(43)

其中

将式(43)代入式(42), 并对其从0到t积分可得式(36).

2 连续依赖性

(44)

(45)

边界条件为

(46)

初始条件为

(47)

在界面L上满足条件:

(48)

(49)

(50)

其中γ,k13为大于零的常数.

证明： 将方程组(44)中第一个等式两边乘以2ωi, 并在Ω1上积分, 可得

(51)

对于式(51)右边第一项, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

对于式(51)右边第二项, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

联合式(51)～(53), 可得

将方程组(45)中第一个等式代入式(54), 可得

利用文献[18]中式(B.17), 可得

(56)

其中N为大于零的常数.联合式(20),(27),(55),(56), 可得

将方程组(44)中第三个等式两边乘以2θ, 并在Ω1上积分, 可得

对于式(58)右边第一项, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

(59)

(60)

(61)

对于式(58)右边第二项, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

(62)

对于式(58)右边第三项, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

联合式(58),(61)～(63), 可得

同理可得

联合式(20)和式(66), 由Schwarz不等式, 可得

(68)

利用文献[18]中式(B.17), 可得

(69)

(70)

其中

联合式(57)和式(71), 可得

其中γ为大于零的常数, 且

求解式(72), 并由式(36)可得式(49).将式(49)代入式(72)可得式(50).