基于核心素养的高中人教版新旧教材习题比较研究——以“平面向量及其应用”为例

◎刘慧玲 高 明

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637000)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称新课标)指出学科核心素养是当今育人价值的集中体现，并提出六大数学学科核心素养，分别为数学抽象素养、逻辑推理素养、直观想象素养、数学运算素养、数据分析素养和数学建模素养.教材是在课程标准指导下，经众多优秀教师、专家打磨的产物，往往更能体现新课标的教育理念，而习题是教材中的重要组成部分，摸清其中隐含的导向作用，有利于教师掌握时代赋予教育的新任务，帮助教师改进教学，提高教学质量.为此，本文选取了高中数学重要内容之一——“平面向量及其应用”为例，以新课标中数学学科核心素养的有关说明和附录中的“划分水平表”为依据，对比研究两版教材的习题中所体现的四大核心素养(根据新课标中学业要求，“平面向量及其应用”一章不涉及培养“数学建模”与“数据分析”核心素养，故删去)及其所处水平层次,期望为一线高中教师的数学课堂教学提供一些参考建议.

一、研究设计

当前社会经济急剧发展，推动全面深化课程改革，构建具有中国特色的人才培养体系，对全面提高育人水平，使每个学生都能接受良好的教育，成为国家的有用之才具有重要意义.新课标指出：数学教材是发展学生数学学科核心素养的重要教学资源，要以发展学生数学学科核心素养为宗旨.依据这一理念，新教材习题部分做出了哪些改动？这些改动对教师教学提出了哪些新的要求？针对这些问题，做以下研究.

(一)研究对象

本研究选取2019年人民教育出版社普通高中教科书数学必修第二册(以下简称人教新版)和2004年教育部审定的人民教育出版社A版数学必修四(以下简称人教A版)中“平面向量及其应用”部分的课后习题进行比较研究，包括“练习”“习题”和“复习参考题”的全部题目.说明：此研究只统计大题，若一道习题中含有多个小题，在统计时以一道题处理.

(二)题目划分示例

1.素养类型划分示例

依据新课标中对“平面向量及其几何意义”的学业要求,在这一部分需要培养学生的数学抽象素养、逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养，因此，本研究假设每道习题至少蕴含一种数学学科核心素养.

数学抽象素养示例：下列量中哪些是向量？悬挂物受到的拉力、压强、摩擦力、频率、加速度.此题考查向量的概念，学生在做题时需要借助向量的定义做出判断，需要学生从事物的相关背景中抽象出数学概念的结构，属于新课标中数学抽象素养的界定范围.

逻辑推理素养示例：求证：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).这道题需要学生自己梳理已学知识，进一步分析此题需要哪些知识，从而设计相应的论证思路，学会有逻辑的思考问题，属于新课标中逻辑推理素养的界定范围.

直观想象素养示例：已知向量a，b，求作向量c，使a+b+c=0.本题需要借助几何直观感知向量的位置关系，从而提升数形结合的能力，属于新课标中直观想象素养的界定范围.

数学运算素养示例：已知|a|=4,|b|=3，且(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.本题主要考查学生能否熟练运用向量的运算法则进行计算，属于新课标中数学运算素养的界定范围.

2.素养水平划分示例

划分标准是2017年版2020年修订的普通高中数学课程标准附录中给出的“数学学科核心素养的水平划分”,在该表中将每种素养都划分成三个水平.

数学抽象素养三水平界定：水平一指学生能够自主在熟悉的情境中得出数学概念，并且能够大概解释清楚数学概念的含义；水平二指学生能够在某些关联的情境中找出具有一般性，能普遍应用的数学规则，并且能够用比较合适的例子对规则进行解释；水平三指学生能够在综合的数学情境中得出数学问题，通过对数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构.

逻辑推理素养三水平界定：水平一指学生能够在比较熟悉的情境中，用恰当的方法，发现数学中数与数、形与形、数与形之间的关系或是各自的特征；水平二指学生能够在某些关联的情境中自主找到数学问题，并用恰当的数学语言或符号加以叙述；水平三指学生能够在综合的情境中自主得出有意义的数学问题，并用数学语言进行表达.

直观想象素养三水平界定：水平一指学生能够在熟悉的情境中，通过观察实际物体抽象出相关的几何图形，头脑中能形成图形与实物之间的联系；水平二指学生能够在某些关联的情境中，不借助实物，通过联想在头脑中建立几何图形；水平三指学生能够在综合的情境中，根据相应的几何图形，提出恰当的数学问题.

数学运算素养三水平界定：水平一指学生能够知道运算对象是什么，提出简单的运算问题，了解相应的运算法则及它的适用范围；水平二指学生能够在某些关联的情境中自己找到运算对象进而提出有关运算的问题，并对问题进行合理的运算以得出正确的运算结果；水平三指学生能够在综合的情境中，把一些实际问题转化为运算问题，确定问题中涉及的运算对象，进而得出运算程序，解决一类问题.

3.涉及多个素养的习题划分示例

同一题目中可能涉及多个核心素养，关于此类问题，本研究采取将其所涉及的核心素养均统计在内并分别划分水平层次的办法.

综上所述，低剂量罗哌卡因联合舒芬太尼腰-硬联合麻醉对行剖宫产孕妇麻醉质量好，可降低产妇疼痛程度，且对产妇血流动力学影响较小，对新生儿安全性高，但由于本研究样本量较小，尚需大样本多中心开展研究，并对麻醉药物的具体作用机制进行更加深入探讨。

例如：一架飞机向北飞行300 km，然后改变方向向西飞行400 km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.此题中涉及了数学抽象素养、直观想象素养、数学运算素养，且都处于水平一.

(三)数据统计方法说明

数学学科核心素养水平的统计：在核心素养类型统计的基础上，统计各个核心素养分别处于水平一,二,三的习题数，再除以该版本教材的习题总数，得到各个核心素养所达到不同水平的百分比.

二、数据结果

(一)习题所属素养类型的统计结果

设计习题首先需要考虑的问题就是所设置习题的数量.题量过多容易使学生的学习负担过重，进而导致学生自主探索的积极性大大减少，降低学生对数学这个学科的兴趣，题量过少则可能导致学生不能及时内化新学的知识，不利于培养学生的数学能力，学生可能在新知学习以后就忘了所学内容.从新旧教材中练习题、习题、复习题数量的统计上看，在“平面向量及其应用”部分，新教材共设置了139道习题，旧教材共设置了113道习题，可以看出新教材在旧教材的基础上增加了部分习题，但增加的题量并不是特别多.新教材用适当增加题量的方法使学生得以及时深化、巩固新学的知识.这样的题量改变与新课标对教材编写提出的突出重、难点的要求一致，也与新课标中强调的重视习题编写针对性的要求一致.同时，各素养类型所含习题均有明显增加，其中以直观想象和数学运算最为突出.具体统计结果见表格1.

表格1 习题在各素养类型上的题目个数(数量比)统计表

(二)习题所属素养水平的统计结果

习题的难度以及各种难度的习题设置量也是在设计习题时需要考虑的问题.若大多数习题都处于水平一，则不能很好地培养学生的能力，若习题均处于水平三，则很有可能降低学生学习的兴趣，使学生有挫败感.因此，习题编制时需特别考虑习题所处的素养水平，使每个层次的学生都能得到不同的发展，让所有学生都能读懂数学.两版教材“平面向量”习题在四个核心素养水平上的统计结果见表格2.其中，多数习题居于水平一，少数居于水平二，达到水平三的习题数量百分比为0.

表格2 习题在各素养水平上的数量百分比(%)

三、研究结论及启示

(一)突出直观想象以及数学运算素养

数据表明，两版教材在“平面向量及其应用”一章的习题中都突出体现了直观想象素养和数学运算素养，新教材中体现得尤为明显.

高中阶段，向量的定义是“既有方向又有大小的量”，这实际上是一个几何描述，在大学数学教学委员会的文件中这种向量被称为几何向量.同时，向量又是高中学生新接触的一个运算对象，关于其运算法则及其适用范围都处于摸索状态.因此，向量就成了一个具有几何意义的特殊的运算对象，它是沟通代数和几何的桥梁，是培养直观想象素养及数学运算素养的良好载体.但这并不意味着其他几个核心素养在这一章就没有体现，我们应该熟悉新课标中所规定的学段以及单元目标，充分挖掘隐藏在教学内容之中的核心素养.教师应该充分认识这一点，结合教材习题，以培养学生数学学科素养为目标，进一步优化自己的教学设计.

(二)教材习题的素养水平较低

(三)新教材中数学运算素养水平有明显提升

首先需要说明的是运算素养不是单纯的“算得对，算得快”，应该包括以下几个方面：正确理解运算对象、精确掌握运算规则、正确运算与应用、概括通性通法、感悟相关思想方法.水平一的习题只需要学生大概对运算对象和运算法则有一定了解，而新教材不再满足于简单的模仿，更多是需要学生去设计相应的运算程序，明白算法背后的算理，掌握通性通法.向量的线性运算和向量的数量积运算都属于数学运算，在“运算”这一大观念的统领下，大多数习题都以“物理背景——运算规则及几何意义——运算性质及几何意义——应用”这个结构展开.这种顺序的调整和内容的变化更符合学生的认知规律，让学生更容易接受向量这一特殊的运算对象，方便教师实施教学，促进学生深度学习.

数学运算作为传统的三大能力之一，高中教师通常会误以为它就是考查学生的运算基本功，从而缺乏重视，实际上作为数学学科核心素养的数学运算更重要的功能是促进学生数学思维的发展，使其形成程序化思考问题的数学思维品质.

(四)重视课程内容的整体性

新教材的编排体现新一轮课改单元教学的理念，有助于教师整体把握教学内容，有利于学生的知识建构，能够促进学生核心素养连续性和阶段性发展.新教材每一章节的具体内容体现了“一以贯之”的特点，往往借助一个情境贯通数学基本知识的生成过程，一个模型贯通数学研究的内容.新课标中将“平面向量及其应用”划分为必修课程主题三“几何与代数”的第一个单元，这一主题下紧接着有两个单元，分别是“复数”和“立体几何初步”.

作为“几何与代数”的起始单元，在这一部分所学习的许多知识会进一步在后面两个单元中应用.例如：复数的几何意义是平面向量，它的许多运算法则是根据这一几何意义类比得出的，立体几何的学习当中必不可少的一个核心素养就是直观想象素养，而这一素养在向量这一部分得到了高度重视.由此可见，高中数学课程是一个有逻辑性的整体，在进行本章教学时，教师应该着重引导班上学生将高中数学知识联系起来，特别要注意贯串整个高中课程的六大核心素养.

(五)情境创设更有利于发展学生的数学核心素养

两版教材在课后习题的设置中都体现了数学问题与实际生活的结合，在习题涉及的情境中均含有一定量的日常生活物品.但总体而言，新教材习题涉及的生活素材更加丰富，数学情境与生活联系得更为紧密.新教材在设置习题时更注重创设恰当的教学情境，因而更容易激发学生的学习兴趣，再进一步引起学生的自主思考和合作交流，以此形成和发展数学核心素养.在高中数学教学中，创设问题情境是教师常采取的一种有效的教学模式，是帮助学生顺利掌握新知识的有效途径.基于以上观点，教师在教学中就可以结合具体的教学内容，结合数学知识与实际生活之间的紧密联系，创设丰富多样的情境，带领学生在情境中参与数学知识的探讨学习.而在这个学习过程中，学生也将亲自经历由具体到抽象的过程.

新教材在设置课后习题时，通过创设情境不仅使一些习题的难度系数得以降低，还有助于学生对某些问题的直观特征进行理解，进而逐步体会数学的抽象性.而情境是否选择得恰当不仅取决于情境本身的逻辑，还取决于这个情境是否能够有效地将数学知识贯串其中，是否能够引发学生思考，是否能够让学生有进一步发展的空间.数学学科的学习本来就是一个由浅到深再到浅的螺旋上升、逐步递进的过程，是一个不断经历数学创造、参与数学活动、得到数学经验的过程，也是学生不断提升数学学科核心素养与数学学科文化素养的过程.