信息化手段在“数值分析方法”教学中的应用探索

谢冰 鲁兴举

[关键词] 数值分析;信息化教学;应用探索

[作者简介] 谢 冰（1982—），女，湖南怀化人，博士，国防科技大学智能科学学院自动化系讲师，主要从事多智能体系统和合作博弈研究;鲁兴举（1977—），男，河南罗山人，博士，国防科技大学智能科学学院自动化系副研究员，主要从事精确制导技术研究。

[中图分类号] G641 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）17-0157-04 [收稿日期] 2021-11-02

“数值分析”课程具有概念的抽象性、逻辑的严密性和结论的正确性三大特征，同时具有很强的实用性及实践性，被广泛应用于解决实际问题。不仅物理专业、化学专业、计算机专业等理工科专业对“数值分析”课程有非常严格的要求，一些经济类专业也开设了“数值分析”课程，比如风险投资专业及财务管理专业等。“数值分析”课程是一门基础类专业课程，学生对于这门课程的掌握程度将直接影响其后续专业课程的掌握程度，是本科教育中非常重要的一门课程。

然而在“数值分析”课程的实际教学过程中依然存在不少问题，比如课程难度系数大、内容相对枯燥、知识点离散缺乏连贯性和公式复杂难记[1]。同时由于课程开设时间一般在大二，早于大多数专业类课程，学生对于数值分析方法缺少应用场景，难以理解原理并掌握。针对这些问题，如何利用信息化手段完善授课方式和增加教学手段，以期增加课堂的趣味性和直观性，将知识点清晰明了地传导给学生，是信息化网络时代“数值分析”课程教学模式改革的一种非常有价值的探索[2]。

一、“数值分析”课程教学中面临的困境

（一）内容多、课时少

在本科生教学安排中，“数值分析”课程需要讲授数值逼近和数值代数两大模块，涉及的算法多，知识内容包括插值（涉及插值法的一般理论、拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、埃尔米特插值和样条插值等）、回归分析（涉及数据描述性分析、一元线性回归分析、一元二次回归分析、一元多项式回归分析和多元回归分析）;数值积分和数值微分，其中数值积分涉及机械求积方法、Newton-Cotes方法和复合求积方法，数值微分涉及中点方法、插值方法和积分方法;线性方程组的求解，包括高斯算法、三角分解法和迭代法;非线性方程的求根，涉及二分法、不动点迭代法、弦截法、牛顿法和迭代法收敛性分析。在课堂上要向学生讲授涉及的全部算法，并将知识点讲解到位，公式推导过程讲解清楚，因此时间紧迫且难度大。

（二）内容相对独立，知识点之间缺少连贯性

数值分析算法通常在课堂上会讲授插值、回归分析、数值微分与数值积分、线性方程组求解和非线性方程组求根这五大块内容，每一章之间的内容关联性小，前面章节知识点的掌握并不能为后续知识点的掌握奠定理论基础，反而在讲授课程中因为学生缺乏应用理解，导致理解和应用知识点有难度。

（三）学生缺少应用认识，对课程内容理解有困难

“数值分析方法”课程作为一门专业基础课程，通常开设于大二，在很多专业课程开设之前，这就导致学生在还没有了解“数值分析”课程在自己所学专业领域的具体应用时，就直接进行方法讲授，因此缺少对“数值分析方法”课程的应用认知，在学习过程中容易出现“一头雾水”的状态，对抽象的数学知识理解起来有难度，可能会出现死记硬背公式考试成绩不错，但对数值分析算法设计思想缺少整体认识，不能灵活应用所掌握的数值分析方法，也不能对所学的数值分析方法举一反三。

（四）学生课业繁重，课程内容偏枯燥，缺少趣味性和求知欲

授课对象大多是大二学生，他们正处于本科学习阶段课业最繁重的时期，有些专业的学生一周最多可能有60课时的课。而“数值分析方法”课程作为一门数学课，内容复杂且枯燥，学生在繁重课业压力之下很容易缺乏相应的求知欲，并产生畏难情绪。这对学生掌握好“数值分析方法”课程内容也是一大挑战。

二、信息化教学手段

常见的几种可以应用于课堂内的信息化教学手段有视频化PPT、“雨课堂”，课堂外有Trustie教学社区、中国大学MOOC（慕课）等。

（一）“雨课堂”

“雨课堂”是学堂在线与清华大学在线教育办公室共同研发的智慧教学工具，旨在连接教师和学生。使用“雨课堂”，教师可以将带有MOOC视频、习题、语音的课前预习课件推送到学生手机上，师生沟通及时反馈;课堂上实时答题、弹幕互动，为传统课堂教学师生缺少互动提供了完美的解决方案。针对计算法方法中不容易理解或者是相似度高的公式，例如拉格朗日插值法和牛顿插值法的优缺点比较、高斯顺序消元法和高斯列主元消元法公式的异同，设计“雨课堂”互动教学环节，用问题启发学生，强化知识点记忆。

（二）Trustie教学社区

Trustie面向软件创新和教育的高校创新实践社区，不仅支持软件创新的代码开源合作，在课程专区也为师生提供了依托平台，教师可以在Trustie平台上进行课程资源发布、作业导入，完成常规作业、编程作业发布和批改;学生可以实时更新作业反馈和编程测评，实现群体协同学习。“数值分析”是一门应用实践要求高的课程，课后作业往往采用案例算法实现的形式，Trustie社区能很好地提供代码互动平台，既方便了教师布置和检查算法類作业，也方便了学生就此类作业进行讨论和参考代码阅读。

（三）中国大学慕课网

中国大学MOOC（慕课）是爱课程网携手网易云课堂打造的在线学习平台，涵盖了我国高校所有专业的课程，为学生进行课外巩固提升提供了丰富的学习资料。同时，慕课堂可以帮助教师实现一体化教学管理，赋能各学科特色教学，实时统计学生在课堂内外的表现，汇总线上线下成绩，实践智慧教学。“数值分析”课程作为工科类专业的基础课程，拥有大量的MOOC课程资源。在学校压缩课时、课本内容讲授不全面的情况下，学生可以在课余时间通过观看数值分析MOOC课程，在巩固知识点的同时扩展对“数值分析方法”课外知识点的掌握。

（四）社交App

社交App，诸如微信、腾讯会议等，不拘泥于课堂上，将师生的联系从课堂上延伸至课堂下，并可以灵活利用师生的时间，为师生就课程问题交流提供更多且便捷的方式。课堂上，往往受限于传统课堂形式，师生没有过多交流的机会，并且中国学生的性格大多腼腆，不善于发问。社交App能给学生提供课后联系教师的一个网络渠道，同时避免面对面对话，让熟悉网络环境的学生敢于向教师求助提问。

上述四种信息化手段，各有其优势。“雨课堂”可以和传统课堂结合，为课堂互动提供网络开发渠道，鼓励学生参与课堂，也方便了教师了解学生对于知识点的掌握程度。Trustie社区等网络社区，不仅方便了教师发布和批改编程作业，更为学生提供了一个广阔的交流空间，不仅仅局限于本班本系学生进行交流，还将交流对象扩大到驻平台的几十所高校学生。慕课作为新兴的网络课堂方式，针对性强，对时间要求不高，并且是知识点全覆盖，弥补了课时紧张、课堂无法全覆盖课程内容的缺点，为学生课后巩固或扩展知识点提供了条件。社交App给教师和学生提供了更为便捷的沟通方式，把沟通延伸到课后，让学生可以随时通过网络找教师咨询，教师也可以针对学生不同的问题进行一对一答疑，或借助网络会议App进行小规模集体答疑。这四种信息化手段均为解决目前数值分析课堂的困境提供了一定的帮助，因此综合考虑这四种方法各自的优势，我们进行了数值分析信息化闭环教学方式的研讨和实践。

三、数值分析信息化闭环教学方式探索

“数值分析”课程的重点在于理解和掌握各种常用数值计算方法的数学原理和算法构造设计，其难点为：（1）如何在课程内容偏枯燥的前提下，将各种数值计算方法的收敛性分析、众多复杂精巧的计算方法设计和烦琐的计算公式推导过程讲得生动具体，在课堂上牢牢吸引学生的注意力，并让学生深刻理解和掌握复杂的课程知识点;（2）在课时受限的情况下，如何将内容清晰讲述，保证教学效率。因此，基于上述信息化手段，针对“数值分析”课程特点，充分利用学生和教师的碎片化时间，建立立体化的教学方式，将课前—课上—课后串联起来，形成信息化闭环教学模式（见图1）。

（一）课前预习布置

众所周知，数值分析知识点繁多且原理不好理解，我们可以通过信息化手段（如社交App或者Trustie社区等）在课前将下一堂课的知识要点布置给学生预习，如插值定理的证明、拉格朗日插值基函数的定义、机械求积公式推导过程等。对于刚接触数值分析的学生来说，这些数学概念并不便于理解和掌握，通过预习方式突出难点，让学生进行预习，并在课前收集学生反馈，以调整授课计划和课堂习题讲解设置。

（二）课中生动教学

在课堂上，将学生预习中反馈的知识难点作为讲授问题引入，针对性再将难点和重点讲解清楚。在收集预习反馈时，会发现学生对于各种插值算法的优缺点缺少直观认识，如在比较拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值和埃尔米特插值的优缺点时，学生只是机械记住了几种插值方法的要求不同，并没有深刻理解四种插值算法在工程问题中的实际应用意义，通过在课堂上用MATLAB展示这四种算法的插值曲線对比和余项分析，让学生直观地理解这四种插值方法，建立具体生动的图像记忆。对于理工科学生，要注重科学计算思想和方法的构造，可以在讲授过程中引导他们怎样改进数值方法，注重收敛性和稳定性的讨论。同时，借助“雨课堂”，设置课堂互动环节，打破课堂沉默的现象，为学生提供互动形式，强化课堂测试互动，方便教师更加准确地了解学生对知识点的掌握情况。

（三）课后师生交流

“数值分析”是一门实践要求高的课程，介绍的算法很难在课堂上用书面习题的形式对学生进行书面测验，无法掌握学生对数值分析算法的具体掌握程度。

1.通过Trustie社区布置和批改编程实践类作业，如样条插值算法的实现、非线性方程求根和数值积分等算法的设计实现，不仅可以帮助教师明了学生对于知识点的掌握程度，也可以让学生跨班级进行同课程实践编程题目的讨论学习，为学生提供更好的学习环境。

2.借助社交App，答疑不再拘泥于课堂，可以建立网络答疑课堂。用腾讯会议等App进行集体答疑，或者用微信等社交App建立网络答疑课堂，能更加快速便捷地与学生沟通，不仅方便发现学生掌握知识点的薄弱点，也可以合理利用学生的零碎时间，一对一答疑。

3.通过“雨课堂”互动形式，针对计算方法中的难点和重点设置课堂测试互动，了解学生对于算法设计思路和各算法之间区别的掌握程度，方便教师实时根据课堂反馈调整知识点的讲授。教师通过“雨课堂”和Trustie等信息化手段，掌握学生课后的作业完成情况，并参考课中的随堂测验统计数据，分析学生对知识点的掌握情况，有的放矢，对学生进行针对性地答疑指导，改善教学计划。

4.慕课内容利用。“数值分析”课程的重要知识点多且复杂，比如插值中的三弯矩算法和三转角方程的算法的公式推导过程、线性方程组求解中的迭代法收敛性分析等，这类知识点往往在实际中应用得非常广泛且具有代表性，学生对这类知识点掌握吃透对其后续专业学习有很大的帮助，也可以帮助学生建立良好的算法设计思想。由于“数值分析”课时有限，很多知识点无法在课堂上展开详细讲解，因此可以借助慕课这类线上资源，让学生在课余时间扩展学习，将这类复杂且无法在课堂上详细讲解的知识点牢牢掌握。

通過上述三个方面建立课前通过社交App提前布置预习，课中讲解重点和难点并通过“雨课堂”互动强化知识点认知，课后进行Trustie社区完成编程实践作业和MOOC自学，期间不间断穿插网络答疑，最后以随堂测验和综合实验的方式验证学生对于每次课程的掌握程度，进而指导下一步教学计划实施的以学生为中心的立体教学方式。完美利用信息化手段促进课上课下师生互动，帮助教师了解学生关于课程知识点的掌握程度，以及掌握学生对于课程的想法，从而可以因材施教制定教学计划，并按照学生的掌握程度随时调整授课计划和优化授课内容，确保将信息化立体闭环教学方式和以学生为主的教学理念落实。

结语

为了更好地响应我国目前进行的教育教学改革，身为教师一定要重视对“数值分析”课程教学改革的探索。在如今这个科技化、信息化的时代，充分了解和掌握各种信息化教学手段，结合“数值分析方法”课程的特点，逐步进行实践探索，建立和完善信息化教学方式，以期进一步提高教学效率。

参考文献

[1]王晓锋.数值分析课程教学改革研究[J].高师理科学刊，2016，36（3）：36-38.

[2]孔胜利.工科研究生数值分析课程教学改革[J].高教学刊，2017（22）：145-147.

Key words： numerical analysis; informatization teaching; exploration on application