大型挠性航天器的鲁棒模型预测姿态控制

管 萍，吴希岩，戈新生，曹彧腾

(北京信息科技大学自动化学院，北京 100192)

0 引 言

随着航天技术的进步和航天任务的多样化，现代航天器需要搭载多种有效载荷。为了控制航天器的质量以降低发射成本，这些有效载荷大都是轻质的超大型挠性结构，如空间太阳能电站、太阳帆航天器等，主要由大型挠性结构组成，其尺寸、体积和重量在航天器整体中占绝大比例，航天器的平台部分所占比例非常小。当挠性结构质量和转动惯量超过航天器刚体平台的占比时，航天器姿态运动与其大型挠性结构振动的耦合效应将变得十分突出。航天器在轨工作时，大型挠性结构的弹性振动易于发生且很难衰减，并显著影响航天器姿态稳定，从而导致航天器工作性能下降。因此，提出既能满足航天器姿态稳定要求，又能抑制其挠性结构复杂振动的有效控制方案，是大型挠性航天器姿态控制研究中必须解决的科学难题。

众多学者对挠性航天器姿态控制做了不断研究，取得了许多重要成果。文献[2]设计了一种新型预设性能姿态控制器，可使挠性航天器的姿态跟踪误差在预设时间内收敛到平衡范围。文献[3]针对挠性航天器姿态控制问题，设计了非奇异终端滑模控制器，使姿态角快速趋于稳定。文献[4]针对一类挠性多体卫星的姿态控制问题，提出一种新型滑模变结构控制算法，控制器采用了递归学习控制结构，能够有效解决传统滑模控制技术的抖振问题。文献[5]提出了一种将非线性状态观测器和转动惯量辨识相结合的精确补偿控制方法，提高了姿态控制的响应速度，满足了挠性卫星机动过程的快速性和稳定性。上述文献所设计的挠性航天器姿态控制器，已取得了较好的控制效果。然而，上述文献针对的挠性航天器均属于大中心刚体-小挠性附件的耦合形式，即挠性附件的转动惯量和质量占整星的比重非常小，挠性结构的振动对中心刚体运动的影响相对较小，采用约束模态法建立的动力学模型构造简单，能直观反应中心刚体与挠性结构之间的耦合特性。而对于安装有大型挠性附件的航天器，属于小中心刚体-大挠性附件的耦合形式，挠性附件的尺寸、体积和重量在航天器整体中占绝大比例，航天器的中心刚体部分所占比例非常小，挠性结构的振动对中心刚体姿态运动具有较大影响，被称为大挠性航天器。对于这类大挠性航天器，如仍采用约束模态法建模就会产生较大误差。Hablani在文献[6]中指出非约束模态法建模的精度和约束模态法建模的精度与挠性体和刚体之间的惯量比有关，当中心刚体占比较小时，采用约束模态法建立动力学模型将有较大误差。非约束模态法描述的挠性航天器整体动力学系统的频率特性，更接近航天器在轨实际飞行状况。非约束模态法也被称为全局模态法，所建立的大挠性航天器动力学模型较为精确，具有高精度和低维度的特点，适宜于姿态控制器的设计。文献[10]考虑了航天器的快速机动，采用全局模态法建立了大型挠性航天器的解耦模型，通过与有限元法计算结果的比较，验证了模型的正确性。文献[11]通过全局模态法建立了具有多块太阳能帆板的大型柔性航天器动力学模型，与有限元法得到的固有频率进行了对比，验证了所建立模型的有效性。文献[12]针对安装有一对大型太阳能帆板的三轴姿态稳定航天器，进行了全局模态建模，利用ANSYS软件进行分析，结果表明了该方法具有精度高、收敛性好、效率高等优点。近年来，在全局模态法建立的更为精确的大型挠性航天器动力学模型基础上，一些专家和学者开展了大型挠性航天器姿态控制的研究。文献[13-14]采用全局模态法建立了大型挠性航天器动力学模型，并针对单轴姿态稳定问题，分别设计了PD姿态控制器和LQR姿态控制器，取得了较好的控制效果。文献[15]针对装有大型太阳帆板的航天器，采用全局模态法建立了刚柔耦合动力学模型，并设计了LQR协同控制器实现了单轴姿态稳定和振动抑制。上述研究采用全局模态法建立了准确的动力学模型，然而仅设计了大型挠性航天器的单轴姿态控制器，到目前为止，鲜少有大型挠性航天器的三轴姿态控制研究，且未考虑控制输入约束问题。由于航天器的执行器、传感器等硬件资源有限，在考虑系统约束限制的同时需确保精确的姿态指向，这些对控制器的设计提出了更高的要求。在众多的控制方法中，模型预测控制(Model predictive control,MPC)为有各种约束的控制问题提供了很好的解决方案。MPC基于系统在每个采样时刻的当前状态，在线求解有限时域开环优化问题，得到最优控制序列，序列的第一部分在每次执行器更新时应用于系统。由于挠性振动模态是无法精确测量的，进行全状态已知的控制器设计具有一定困难，在姿态控制器设计中可将挠性振动作为对姿态系统的未知扰动。为了更好地降低挠性附件振动对中心刚体的影响，所设计的姿态控制器需具有较强的抗干扰能力。鲁棒模型预测控制(Robust model predictive control，RMPC)可以较好地处理实际系统中出现的各种不确定性和扰动。RMPC方法一般分为三种：第一种采用标称MPC算法的内在鲁棒性对抗扰动；第二种采用min-max MPC方法，保证在最差的情况下性能指标是最优的，与标称MPC的内在鲁棒性相比，min-max MPC在牺牲计算量的前提下提高了系统的鲁棒性；而第三种是基于“管道”(Tube)的RMPC方法，在具有扰动的情况下，基于Tube的RMPC可使被控系统的实际状态保持在以标称轨迹为中心的Tube不变集内，并驱使实际系统状态沿着标称轨迹到达平衡点，故能有效抑制扰动，且降低了在线计算量。因此，设计基于Tube的RMPC姿态控制器可有效处理大型挠性附件振动对中心刚体姿态的影响。

基于以上分析，针对大型挠性航天器的三轴姿态控制问题，采用RMPC进行姿态控制器设计。首先通过求解带有约束的标称MPC问题，生成标称轨迹，在此基础上采用辅助反馈控制设计RMPC姿态控制器，以有效抑制系统中的各种扰动。对于大挠性航天器，当大型挠性附件振动对中心刚体姿态产生扰动时，可使航天器姿态控制系统的状态保持在以标称轨迹为中心的Tube不变集内，并驱使实际系统状态到达标称轨迹上，最终沿着标称轨迹到达平衡点。仿真结果表明，所设计的基于Tube的RMPC可有效减少大挠性振动对中心刚体姿态的影响，实现航天器三轴姿态的精确跟踪。

1 大型挠性航天器的数学模型

本文所研究的被控对象为带有大型横向太阳帆板的航天器，由中心刚体和安装在两侧的太阳帆板组成，太阳帆板受驱动可定向旋转。如图1所示：

图1 双太阳帆板航天器坐标系示意图Fig.1 The sketch of coordinate frames for spacecraft with two solar arrays

其中,-为惯性参考坐标系，-为中心平台的固连坐标系，-为太阳帆板的固连坐标系，为太阳帆板所在平面与水平面之间的预设角度。

基于哈密顿原理和全局模态方法建立的大型挠性航天器的动力学模型为：

(1)

其中，∈(6+)×(6+)为质量矩阵，∈(6+)×(6+)为阻尼矩阵,∈(6+)×(6+)为刚度矩阵，为挠性振动模态的阶数。∈6+为自由度变量，∈6+为外力变量，分别为：

(2)

=

(3)

其中，和为航天器平动位移；,,为航天器转动角度；为太阳帆板转动角度；为挠性振动模态；,,,为控制力矩；,,,为模态函数。,,的表达式分别为

(4)

(5)

式中变量的详细含义可见文献[21]。

假设航天器已到达轨道预定位置，完成定向对日后，太阳帆板与航天器本体的相对偏转角锁定，忽略轨道动力学的影响，取前两阶挠性振动模态，则式(1)转化为

(6)

(7)

(8)

系统所受控制力矩约束

(9)

实际状态和期望状态的误差为

=-

(10)

对式(10)求导

(11)

本文的控制目标为：针对大型挠性航天器系统(式(8))，将三轴姿态角和太阳帆板转动角度作为状态变量，在满足控制输入约束条件下设计姿态控制器，使航天器三轴姿态既可快速跟踪指定角度，又可保持太阳帆板位置稳定，同时有效减少挠性振动对中心刚体的影响。

2 鲁棒模型预测姿态控制器

RMPC姿态控制器的设计步骤为：首先，将模型预测控制应用到不考虑扰动的标称挠性航天器系统中，通过求解优化问题推导预测控制律，从而得到三轴姿态的标称轨迹。然后，为有效降低大型挠性附件振动对中心刚体姿态的扰动影响，针对带有扰动的大挠性航天器实际系统，设计由标称系统状态与实际姿态控制系统状态的误差构成的辅助反馈控制器。当大型挠性附件振动对中心刚体姿态产生扰动时，可使实际姿态控制系统状态维持在以标称轨迹为中心的“管道”(Tube)不变集内，并驱使实际系统状态到达标称轨迹上，最终沿着标称轨迹到达平衡点，使三轴姿态准确跟踪指定角度。

不考虑扰动，则系统(8)为标称系统：

(12)

(13)

则标称轨迹的优化目标为

((+)-)

(14)

(15)

其中,表示的下一时刻状态。则标称轨迹的优化问题为

(16)

求解(,)得到的控制序列和对应的状态序列为

(,)={,(+1;,),…,(+-1;,)}

(17)

(,)={(;,),(+1;,),…,

(+;,)}

(18)

其中,第一个元素=(;,)是用于标称系统当前时刻的控制输入。则辅助反馈控制器的目标状态和对应的控制输入为：

(,)=(;,)

(19)

(,)=

(20)

(21)

(22)

(23)

()-()≤-(,)

(24)

针对标称系统(12)，采用所设计的MPC控制律(17)，选取满足优化问题(16)的正定权值矩阵,,，则控制律(17)可使标称系统(12)在满足控制输入约束(13)的条件下对于原点指数稳定。

(25)

其中>0,{}表示的最小特征值。

当=1时，由式(15)可得

(26)

(27)

则

(28)

(29)

当=+1时，由式(15)可得

(30)

由于不一定为+1(,)的最优解，那么可得

(31)

由式(29)可推出

(32)

(33)

其中,>>0,{}表示的最大特征值。

(+)-)+((+),)

(34)

其中

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+-1;,))

(35)

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+;,))

(36)

由式(34)可得

(-,-)-((+),)

(37)

)+((+),)

(38)

其中

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+-1;,))

(39)

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+;,))

(40)

(+-1;,),)

(41)

(+;,),(+))

(42)

则

((+),)+((+)-,-)+

((+),)

(43)

由式(24)可得

(44)

定义实际状态和标称系统最优状态的误差为

=-

(45)

对式(45)求导，将式(8)和式(12)代入可得

(46)

则RMPC姿态控制器为

=(+K)

(47)

其中,为反馈增益。

针对系统(式(11))，如果存在(·)和(·)函数，使系统状态满足如下条件：

(48)

那么系统是稳定的。其中为初始时间，为扰动的界限。

将式(47)代入到式(46)

(49)

求解式(49)

(50)

(51)

因此定义集合()为

(52)

则为

(53)

由=+和∈可得

∈⊕

(54)

针对系统(式(11))，采用所设计的RMPC姿态控制器(式(47))，选取合适的反馈增益，则控制器(47)可使系统(11)稳定。

由式(44)、(25)和(33)可得

(55)

通过不断迭代式(55)可得

(56)

由式(25)和(33)可得

(57)

则存在函数(·)使得

(58)

由于∈，因此存在函数(·)使得

(59)

由于

(60)

则

(61)

因此，由引理2可知，RMPC姿态控制器(47)可使系统(11)稳定。

3 仿真校验

将所设计的基于Tube的RMPC控制应用于大挠性航天器三轴姿态控制中，进行仿真验证与分析，以说明所提出的RMPC控制算法的有效性。本文针对的被控对象为大型挠性航天器，太阳帆板的转动惯量较大，中心刚体的质量占比较小。太阳帆板的长度为8 m，宽度为1 m，厚度为0.01 m，铝合金质量密度为2.7×10kg·m,中心刚体转动惯量为=diag(20,20,20)kg·m，质量为120 kg。主要模型参数为：

其余模型参数可见文献[21]。

初始姿态角为=3°、=4°、=5°，期望值均为0°；初始太阳帆板转动角为0°，挠性振动模态初始值均为0，预测时域为=5。

控制力矩约束为

控制参数为

为了加以比较，姿态控制器分别采用所设计的RMPC和经典的模型预测控制(Model predictive control，MPC)方法，使航天器从初始姿态稳定地到达期望姿态，对这两类控制系统做仿真研究，仿真结果如图2～5所示。在MPC控制下的航天器三轴姿态稳定时间和太阳帆板转动角的稳定时间分别为50 s、120 s、120 s、120 s，在姿态角变化初始阶段，挠性附件振动被激发，前两阶挠性振动模态分别为0.009、0.06，挠性振动模态随时间增加衰减较慢，姿态角跟踪精度相对较低；而在RMPC控制下的航天器三轴姿态稳定时间和太阳帆板转动角的稳定时间分别为20 s、80 s、80 s、80 s，控制力矩在约束范围内并较快趋于稳定，初始阶段的前两节挠性振动模态分别为0.005、0.03，挠性振动模态随时间增加衰减较快，可有效降低大型挠性附件振动对中心刚体姿态的影响，从而使姿态角跟踪精度较高，提高了系统的鲁棒性。

图2 姿态角和太阳帆板转动角响应曲线Fig.2 Attitude angle and rotation angle of the solar panel response curves

图3 姿态角速度和太阳帆板转动角速度响应曲线Fig.3 Attitude angular velocity and rotation angular velocity of the solar panel response curves

图4 控制力矩响应曲线Fig.4 Control torque response curves

图5 挠性振动模态η1和η2响应曲线Fig.5 Flexible vibration mode η1 and η2 response curves

仿真结果表明，在大挠性振动对中心刚体姿态的影响下，由于经典MPC固有的鲁棒性有限，因此在MPC控制器下的航天器系统的控制性能相对较差。而本文所设计的RMPC姿态控制器，通过航天器实际姿态控制系统状态与标称系统状态误差构成的辅助反馈控制器，驱使航天器实际姿态控制系统状态运动到标称轨迹上，并最终到达原点。较好地解决了大型挠性航天器姿态运动中由大型挠性附件结构的挠性振动导致的姿态失稳问题，使航天器能够快速准确地执行预定的动作，控制效果良好。

4 结 论

随着航天技术的发展，挠性附件的尺寸和质量逐渐增大，振动模态频率也越来越低。由于航天器本体和挠性结构之间的耦合动力学，大挠性结构的振动会严重影响航天器本体的姿态控制精度，尤其会对姿态和角速度控制稳定度产生较大的影响。为此，本文设计了RMPC姿态控制器以解决大型挠性航天器的高精度姿态控制问题。首先将MPC控制律应用到无扰动的标称系统中生成标称轨迹。然后在此基础上，利用得到的最优系统状态与实际系统状态之间的误差构建辅助反馈控制。当大型挠性附件振动对航天器本体姿态运动产生扰动影响时，所设计的RMPC姿态控制器可使航天器实际姿态控制系统状态保持在以标称轨迹为中心的Tube不变集内，并沿着标称轨迹最终到达平衡点，从而使航天器三轴姿态控制具有较高的稳定度和精度。仿真结果表明，所设计的RMPC姿态控制器可使航天器三轴姿态快速稳定地到达期望状态，有效处理大型挠性附件振动对中心刚体姿态产生的扰动，具有良好的鲁棒性。