探析2021年全国高考新课标Ⅰ卷第19题

摘要：通过归纳2021年全国高考新课标Ⅰ卷第19题的解法，思考三角函数复习思路，提高数学核心素养，从而更高效复习，备战2022年高考.

关键词：2021年高考;三角函数;正弦定理;备考策略

2021年三角函数试题形式略有创新，既考查了学生对基础知识的理解和应用，又考查了学生化繁为简的运算能力，以及数形结合、转化与化归等数学思想.试题重视对学科观念、规律及学生数学学科核心素养的考查.因此，深入研究及进行适量的训练，对学生来说必不可少.

1 试题呈现

题目记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，點D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b.

（2）若AD=2DE，求cos∠ABC

2 试题解析

2.1 第（1）小题解析

思路1利用正弦定理将b2=ac中b和c的关系转化为sinB和sinC的关系，再对比已知条件

BDsin∠ABC=asinC，即可证得BD=b.

思路2利用正弦定理将BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC和sinC关系转化为b和c的关系，再利用已知条件b2=ac，即可证得BD=b.

思路3将结论整理为BD=asinCsin∠ABC，通过正弦定理求出asinCsin∠ABC=b，证得BD=b.

思路4利用正弦定理得到bsinC=csinB，两边同时乘以a，再利用已知条件b2=ac，转化成bsin∠ABC=asinC，从而对比已知条件BDsin∠ABC=asinC，即可证得BD=b.

思路5利用三角形面积公式

S△ABC=12ac·sin∠ABC=12absinC，再利用已知条件b2=ac，转化成bsin∠ABC=asinC，从而对比已知条件BDsin∠ABC=asinC，即可证得BD=b.

思路6将BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC转化成sin（A+C），利用两角和正弦公式展开，再利用余弦定理公式，也可得到BD·b=a·c，再利用已知条件b2=ac，即可证得BD=b.

思路7 利用平面几何知识，过点B作高构造直角三角形，得BDsin∠BDA=asinC，从而得到sin∠BDA=sin∠ABC，然后利用三角形相似来证明.

解法1由正弦定理（或“b2=ac”），得

bsin∠ABC=asinC.

又因为BDsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法2由正弦定理（或“BDsin∠ABC=asinC”）可得BD·b=ac.

因为b2=ac，所以BD=b.

解法3在△ABC中，由正弦定理，得

bsin∠ABC=csinC.

所以sinCsin∠ABC=cb，

即有asinCsin∠ABC=acb.

又因为b2=ac，

所以asinCsin∠ABC=b.

由BDsin∠ABC=asinC，得

BD=asinCsin∠ABC.

所以BD=b.

解法4在△ABC中，由正弦定理，得

bsinC=csin∠ABC，

两边同时乘以a，得

absinC=acsin∠ABC.

又因为b2=ac，所以bsin∠ABC=asinC.

又因为BDsin∠ABC=asinC，

所以BD=b.

解法5由三角形面积，得

S△ABC=12acsin∠ABC=12absinC.

又因为b2=ac，所以bsin∠ABC=asinC.

又因为BDsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法6因为BDsin∠ABC=asinC，

所以BDsin（A+C）=asinC.

所以BD（sinAcosC+cosAsinC）=asinC）.

由正弦定理、余弦定理，得

BD（a·a2+b2-c22ab+b2+c2-a22bc·c）=ac.

整理，得  BD·b=ac.

因为b2=ac， 所以BD=b.

解法7过点B作BE⊥AC，

在△ABC中，BE=asinC，

在△BDE中，BE=BDsin∠BDE，

所以BDsin∠BDE=asinC.

又因为BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠BDE=sin∠ABC，

所以∠BDE=∠ABC或∠BDE+∠ABC=π.

①当∠BDE=∠ABC时，得△BCD∽△ABC.

所以ab=BDc，得BD·b=ac.

因为b2=ac，所以BD=b.

②同理，当∠BDE+∠ABC=π时，BD=b.

2.2第（2）小题解析

思路1在△ABC与△BCD中，分别求得cosC，得到6a2-11ac+3c2=0，从而得到a和c的关系式，再结合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

思路2不妨设BD=b，在△BCD和△ABD中运用余弦定理得出cos∠BDC与cos∠BDA，再由

∠BDC+∠BDA=π，结合b2=ac，即可求出a和c，进而得到cos∠ABC.

思路3 结合BD=b，在△BCD和△ABD中运用余弦定理得出cos∠BDC与cos∠BDA，再由

∠BDC+∠BDA=π，得到6a2-11ac+3c2=0，从而得到a和c的关系式，再结合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

思路4利用向量得到

BD=23BC+13BA，再利用向量运算得到

b2=49a2+19c2+49accosθ.又在△ABC中，结合余弦定理和条件b2=ac，得到6a2-11ac+3c2=0，再结合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

思路5利用向量得到BD=23BC+13BA，再利用向量运算得到b2=49a2+19c2+49accosθ.又在△ABC中，结合余弦定理，然后用换元法，令t=ac，即可求出t，从而得到cos∠ABC.

解法1在△ABC中，cosC=a2+b2-c22ab，

在△BCD中，cosC=

a2+（b3）2-b22a·b3，

因為b2=ac所以，6a2-11ac+3c2=0.

所以a=c3或a=32c，

当a=c3时，b2=ac=c23，

则cos∠ABC=76>1（舍）.

当a=32c时，b2=ac=c22，则cos∠ABC=712.

综上，cos∠ABC=712.

解法2不妨设BD=3，则AD=2，DC=1，b=3.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理，得

a2=9+1-6cos∠BDC，

c2=9+4-12cos∠BDA.

由于∠BDC+∠BDA=π，

所以2a2+c2=33.

由2a2+c2=33，ac=9，得a=3，c=33或

a=363，c=6.

若a=3，c=33，则a+b<c或cos∠ABC=76>1（舍）.若

a=363，c=6，则cos∠ABC=712.

综上，cos∠ABC=712.

解法3由（1）得BD=b.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理，得

a2=b2+（b3）2-2b·b3cos∠BDC，

c2=b2+（2b3）2-2b·2b3cos∠BDA.

由于∠BDC+∠BDA=π，b2=ac，

所以6a2-11ac+3c2=0

所以a=c3或a=32c，

当a=c3时，b2=ac=c23，

则cos∠ABC=76>1（舍）.

当a=32c时，b2=ac=c22，则cos∠ABC=712.

综上，cos∠ABC=712.

解法4设θ=∠ABC，则

BD=23BC+

13BA，

所以b2=49a2+19c2+49accosθ.

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

因为b2=ac，所以6a2-11ac+3c2=0，

所以a=c3或a=32c，

当a=c3时，b2=ac=c23，

则cos∠ABC=76>1（舍）.

当a=32c时，b2=ac=c22，则cos∠ABC=712.

综上，cos∠ABC=712.

解法5设θ=∠ABC，则

BD=23BC+

13BA，

所以b2=49a2+19c2+49accosθ.①

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.②

由①，得cosθ=49-ac-c4a.

由②，得cosθ=-12+a2c+c2a.

令t=ac，则94-t-14t=-12+t2+12t.

解得t=32或13.

当t=32时，cos∠ABC=712.

当t=13时，cos∠ABC=76>1（舍）.

综上，cos∠ABC=712.

3 教学启示

本道试题所涉及到的知识点与求解方法体现了高考不回避热点问题，不回避平时常考的考点和常用的方法.这就启发我们在高三复习时一定要讲透这类题型及其相应的求解策略.让学生把知识内化成自己的能力，从而精准得分.具体做法如下：

3.1 强化思想方法，提升数学能力

在三角函数模块的复习中，尤其要重视函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想的应用.在正余弦定理的教学中，不仅要深挖公式的正用、逆用、变用功能，更要挖掘等式中蕴含的数学思想——方程思想，还要树立方程到不等式的模型，从而顺利地解决一些有关周长、面积的最值或范围问题.

因此，在复习备考中，要特别重视数学思想和方法的渗透，不能只讲题型，不讲思想和方法，否则学生就只会套题型，不会自己独立思考，当然也就不能提高能力.

3.2 关注新课标里向量工具性的作用

新课标在正弦定理和余弦定理部分是这样说明的：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.而旧版课标是这样说明的：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.从变化中可以看出，新课标凸显了向量在解三角形中的工具性作用.

本题第（2）小题属于条件分散的解三角形的问题，无法直接利用正弦定理或余弦定理解决，解法5把分散的条件利用数学知识找到联系就成了本题的关键，充分利用点D是三等分点这个显著特征，构建向量模型BD=23BC+13BA，通过边平方建立边角关系，就显得巧妙而简洁.3.3 重视平面几何知识点的渗透

本题第（1）小题解法7借助平面几何知识，从而顺利地解决问题.新高考删除选考内容，意味着几何证明选讲部分内容不再单独出现，但是很多的几何图形性质又能起到简化运算的功能，体现多思少算的新高考理念，尤其是解析几何等内容体现得尤为明显.因些，在解三角形的教学中应重视平面几何知识的渗透，提升学生的直观想象与数学运算素养，从而达到事半功倍的效果.

3.4 潜心研讨高考真题，领悟高考命题规律

高考真题是命题者依纲靠本、科学而精心设计的典型题目，它聚集了专家、优秀老师的集体智慧，它不仅在一定程度上浓缩了课本上重要的基础知识与基本技能，而且还蕴含着丰富的数学思想和方法，能够折射出高考的基本走向和考查的深度与广度.为了避免题海战术，让学生真正跳出题海，只有教师跳出题海，潜心研讨高考历年真题，方能领悟高考命题规律.

参考文献：

[1]

教育部考试中心.中国高考评价体系说明＼[M＼].北京：人民教育出版社，2019.

＼[2＼] 黄金明.关注变化 强化思想 探寻规律——从“八省联考”谈新高考视域下三角函数复习备考策略＼[J＼].数学教学通讯，2021（21）：3-5.

＼[3＼] 金克勤.2020年高考“三角函数”专题命题分析＼[J＼].中国数学教育（高中版），2020（18）：48-56.

[责任编辑：李璟]

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0010-04

收稿日期：2022-02-05

作者简介：许顺龙（1983.2-），男，福建龙海人， 本科，中学一级教师，从事高中数学高考解题和高中数学项目式学习策略研究.[FQ）]