追本溯源 激活思维

黄晚霞

问题是数学的心脏，培养学生利用数学知识与思想方法去解决问题的能力是数学教学核心任务之一，数学标准强调在数学活动中，培养学生分析问题、解决问题的能力，并形成解决问题的一些基本策略，纵观近几年中考，数学压轴题的得分率不尽人意，很多教师在复习中花了大量精力反复训练、不断强化，学生也疲于应付，但效果不明显，甚至没有效果，究其原因，教师以题论题，强调课堂容量，却没有“授人以渔”，使得学生面对中考压轴题中复杂多变的情景，无从下手、束手无策，下面以一道习题的教学为例，谈谈笔者的教学感悟与反思.

1 问题呈现

如图1，将半径为4的圆O沿弦AB折叠，圆上点O‘折叠后恰好与圆心O重合，连接AO并延长交圆O于点C，连接BC.点P为弧OB上一动点，点M，N分别为线段OC，BC上一动点，求APMN周长的最小值.

2 试题分析

初看题目貌似平凡，细细品味才发觉它有着深藏不露的“精彩”，本题以圆为载体，结合折叠、含30。的直角三角形、动点求最值等有关问题，着重考查学生运用数学模型以及分析问题、解决问题的能力，其文字叙述简明扼要、内容丰富，对学生的综合能力要求较高，

本题中，点P为弧OB上一动点，点M，N分别为线段OC，BC上一动点，总共三个动点.如何在三个动点的环境下，追寻周长的最小值是本题的难点，解决问题的关键点有：如何化曲为直求三角形周长;如何三角形周长用CP表示;如何利用模型求最值，因此教学中做到引导学生追本溯源，建立模型，突破思维障碍，是教学的关键.

3 教学过程

3.1 找准支点，合理铺垫

本题主要是考查在运动过程中几何线段、图形周长求最值的问题，问题解决必然要建立在学生已有的知识、方法、经验和模型的基础上，特别是学生具备的方法、模型应是教师教和学生学习的重要支撑点，也是学生学习发展的生长点，合理铺垫是打开思维、解决问题的钥匙，本题是三个动点求三角形周长的问题，学生已有一定的知识和方法，比如一个动点或两个动点时的将军饮马问题等等，在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称變换化曲为直，把复杂问题转化为容易解决的问题，为了更好帮助学生，做了以下铺垫，

教学铺垫1：如何解决两个动点分别在两条直线上运动的最值问题？

己知：如图2，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，

分析分别作点A关于OM，ON的对称点A‘，A”;连接A'A”，分别交OM，ON于点B，点C，则点B，点C即为所求，

教学铺垫2：圆外一定点与圆上一动点的距离最值问题，

如图3，点P是圆O上一点，点A是圆O外一点，当点P动到点B时，AP最短，当点P动到点C时，AP最长.

3.2科学转化，解决问题

3.2.1化动为静，用模型

本题中，点P为弧OB上一动点，点M，N分别为线段OC，BC上一动点，共三个动点，如何在三个动点的环境下，追寻周长的最小值.化动为静，假设点P是弧OB上一定点，点M，N分别为线段OC，BC上一动点，化为两个动点问题，降低难度，利用教学铺垫1，化陌生为熟悉，具体如下，

首先，根据对称性可知OO'⊥AB，且OK=1/2OO'，

=1/2OA.因此sin ∠CAB1/2，可得∠CAB=30度，由于

AC是直径，所以∠ABC= 90度，所以∠ACB= 60度，假设点P是弧OB上的一定点，作点P关于直线AC的对称点P‘，作点关于直线BC的对称点P”，连接PP”，分别交线段AC，线段BC于点M，N，则L△PMN= PM+PN+ MN= P'M+ MN+P”N=P|'P”，所以当PP”最小时，L△PMN取最小值.

3.2.2激活思维，化难点

问题转化为如何求P'P”的值？但P”的长度和位置会随着点P的变化而变化，而且关系不明显.变不明显到明显，这是解决本题的另一个关键，

现在把问题进一步转化为点P是弧OB上的一动点，如何求线段CP的值？

3.2.3 溯源模型，破障碍

如何解决这个思维障碍？再次追本溯源，发现点P在以O‘为圆心，OO‘为半径圆上的运动，点C为圆O‘外一点，这就是圆中最值基本模型“圆外一点与圆上一点的距离最值问题”.

4 教学反思

4.1 追本溯源，突出模型

数学建模思想是一项重要的数学核心素养，帮助学生建立数学模型并用模型去解决实际问题是教学的重要目标，初中几何问题中蕴含丰富的模型，比如“将军饮马”、“一线三等角”等，几何模型的教学是培养学生数学直观素养，树立学生建模意识的重要途径，在总结、提炼、运用模型同时，要引导学生弄清模型所蕴含的知识本源和数学思想方法.

4.2 挖掘思想，提升素养

教学中中考压轴题，情境复杂，综合性强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，涉及到数学思想、方法多，在教学中，教师要有意识总结提炼数学思想和方法，在本题的教学中要以问题为导向，突出模型、转化、运动变化等思想，如在问题的解决中将P点化动为静，动静结合，化曲为直求周长以及将P'P”的长转化CP，最终将问题转化为模型去解决，从而实现所求目标，整个过程突出转化思想、模型思想，通过不断总结、提炼、运用数学思想，展开学生的思维，在课堂教学中落实和发展学生数学建模、几何直观和逻辑推理等核心素养，

参考文献

[1]戴秀梅.对一道经典数学题的再探究[J].中学数学教学参考，2020（3）（中旬）：58-60