概率问题中的误区警示

黄林平

概率问题中有许多概念看似相似，实则不同，非常容易混淆，初学时，不少同学由于对一些事件不能正确判断而造成解题错误，现就同学们易犯的错误类型进行归纳总结。

误区1：混淆“非等可能”与“等可能”

例1 任意投掷两枚骰子，求出现的点数和为奇数的概率。

错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11，共5种可能结果，点数为偶数，可取2，4，6，8，10，12，共6种可能结果，所以出现点数和为奇数的概率是546=5/1。

正解：投掷两枚骰子可能出现的结果为（1，1），（1，2），··.，（1，6），（2，1），（2，2），·.， （2，6），···，（6，1），（6，2），···，（6，6），即基本事件总数为6x6=36。出现点数和为奇数，由数组（奇，偶），（偶，奇）组成，可知有3x6=18（种）不同结果，这些结果的出现是等可能/18=1/2。的。故所求概率为

感悟：构建有序实数对的基本事件空间，使“非等可能”转化为“等可能”。

误区2：混淆“互斥”与“对立”

例2 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥但不对立的两个事件是（）。

A.至少有1个白球;都是白球

B.至少有1个白球;至少有1个红球C.恰有1个白球;恰有2个白球

D.至少有1个白球;都是红球

错解：至少有1个白球与都是红球是互斥但不对立的两个事件。应选D。

正解：“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，A错误。“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，B错误。C中的两事件互斥，但不对立，D中的两个事件互斥且对立。应选C。

感悟：正确理解“互斥”与“对立”事件的联系和区别是避免出错的关键。两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生，而两个对立事件则表示它们有且只有一个发生。

误区3：混淆“有放回”“无放回”或“有序”“无序”

例3 把大小和形状完全相同的五个小球编号为1，2，3，4，5，放在一个箱子中混合摇匀，有放回地抽取两次，求取出小球的编号是2和4的概率。

错解：有放回地连续抽取两次，所有可能结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4）， （3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共15种情况。

事件A“取出的小球编号是2和4”对应的基本事件为（2，4），共1种可能情况。故所求概率P（A）=1/15。

正解：有放回地连续抽取两次，必须考虑抽取顺序，所有可能结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2， 4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3， 5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5， 1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共5x5=25（種）可能结果。

事件A“取出的小球编号是2和4”对应的基本事件为（2，4）和（4，2），共2种可能结果。故所求概率P（A）=2/25。

感悟：构建有序实数对的基本事件空间，可使“无序”转化为“有序”。有放回抽样和无放回抽样是两种不同的基本题型，有放回抽样必须考虑抽取顺序;无放回抽样可以考虑抽取顺序，也可以不考虑抽取顺序，当作一次性抽取。

作者单位：江西省赣州市于都第二中学

（责任编辑郭正华）