美妙的特征数

李大顺

特征数指的是众数、中位数、平均数、百分位数、标准差或方差，为了从整体上更好地把握总体的规律，通过对样本数据的研究来比较全面地认识和估计总体，进而使我们能从整体上更好地把握总体的规律、对总体作出合理的推断与决策，初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。

一、众数

例1 某班50名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如表1所示（满分10分）。

這次安全知识竞赛成绩的众数是（）。

A.10

B.9

C.8

D.6

解析众数是一组数据中出现次数最多的数。由表中数据可知，成绩9分出现的次数最多，所以众数是9。应选B。

评注：众数就是样本数据中出现次数最多的那个数。众数可以有两个或两个以上。

二、中位数

例2 某校举行“社会主义核心价值观”演讲比赛，学校对30名参赛选手的成绩进行了分组统计，结果如表2所示。

由上可知，参赛选手分数的中位数所在的分数段为（）。

A.5≤x<6

B.6≤x<7

C.7≤x<8

D.8≤x<9

解析已知数据共有30个数，中位数是第15，16个数的平均数，而第15，16个数所在分数段均为6≤x<7，所以参赛选手分数的中位数所在的分数段为6≤x<7。应选B。

评注：中位数是一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数。如果这组数据是偶数，则取中间两个数据的平均数即为中位数。

三、平均数

例3 期中考试后，班长算出全班40名同学的数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，再与原来的40个分数一起，算出这41个同学的平均分为N，那么M：N=（）。

A.40：41

B.1：1

C.41：40

D.2：1

解析

设40个同学的成绩依次是a1，a2，···，a40，则平均分a+a2+··+ao。因为这41个同学的平均分为N，所以平均分N=a1+a2+···+a40+M，即M=N。应选B。

评注：平均数是样本数据的重要数字特征，平均数越大表明数据的平均水平越高，平均数越小表明数据的平均水平越低。由于平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质。

四、百分位数

例4 一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为，第86百分位数为。

解析

因为86%x20=17.2，所以第86百分位数为第18个数据，即为17。

例5 已知一组数据按从小到大的顺序排列为11，12，15，x，17，y，22，26，经过计算，该组数据的50%分位数是16，75%分位数是20，则x=，y=。

解析因为50%x8=4，所以50%分位数是（x+17）÷2=16，解得x=15。

因为75%x8=6，所以75%分位数是（y+22）÷2=20，解得y=18。

评注：计算一组n个数据的第p百分位数的三个步骤：第1步，按从小到大排列原始数据;第2步，计算i=nxp%;第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数。

五、方差或标准差

例6 样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3。若该样本的平均数为1，则样本方差为（）。

A.

B.

C.

D.

解析由题意可知样本的平均数为1，所以a+0+1+2+3，解得a=—1。所以样本的方差为s2=1/5[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2- 1）2+（3—1）2]=2。应选D。

评注：方差或标准差是描述一组数据的波动性大小，方差或标准差越小，这组数据越稳定。

六、特征数的综合运用

例7 由正整数组成的一组数据为x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为。（按照从小到大顺序排列）

解析由题意得

因为x1，x2，x3，x4都是正整数，所以只有1，3组合或2，2组合。

若是2，2组合，不妨设x1=x4=2。由标准差等于1，可得s2=1/4x[（x1—2）2+（x2-2）2+（x3-2）2+（x4-2）2]=1，所以（x2-2）2+（x3-2）2=4，而x2+x3=2，此时 x2=0，x3=4或x2=4，x3=0，不满足条件，所以x1与x4，x2与x3都是1，3组合。因此这组数据为1，1，3，3。

评注：理解平均数，中位数，方差或标准差的含义是解题的关键。

感悟与提高

1.一组观察值4，3，5，6出现的次数分别是3，2，4，2，则样本平均数为（）。

A.4.55

B.4.5

C.12.5

D.1.64

提示：。应选A。

2.从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量（单位：kg）如下：

7.9，9，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9， 7.8，8.3，8。

求这组数据的四分位数。

提示：这组数据按照从小到大的顺序排列为7.8，7.9，8，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9，9.9。

作者单位：甘肃省临夏州临夏市河州中学

（责任编辑郭正华）231A7922-C614-48CB-A169-C66B93C05CC3