根据函数式的特征，寻找求值域问题的思路

武芳

在学习中，经常会遇到分式函数的值域问题.分式函数值域问题通常较为复杂，很多同学不知如何下手.下面，介绍三种解答分式函数值域问题的途径.

一、采用判别式法

对于形如：y =（a2+d2≠0）的函数值域问题，通常需采用判别式法求解.由于此类函数的分母对函数的定义域没有更多的限制，所以可直接将y 看作参数，将函数式转化为关于 x 的一元二次方程，根据一元二次方程有实根得出判别式△≥0，解关于y 的不等式，就能求出函数的值域.

例1.求函数 y = 的值域.

解：由 x2+x -2≠0，可得函数的定义域为（-∞，-2）⋃（-2，1）⋃（1，+∞），

将 y = 变形可得 yx2+（y -1）x +1-2y =0，

当 y =0时，x =1，

而 x =1不在函数的定义域内，因此 y ≠0，当 y ≠0时，要使一元二次方程有解，

需使Δ=（y -1）2-4y（1-2y）≥0，

整理得：（3y -1）2≥0，解得 y ∈ R .

当3y -1=0，即 y = 时，x =1，

不在函数定义域內，因此 y ≠.

综上可得，函数的值域为（-∞，0）⋃（0，）⋃（ ，+∞）.在运用判别式法解题时，要分别讨论 y =0和 y ≠0的情况.只有在 y ≠0时，方程 yx2+（y -1）x+1-2y =0为一元二次方程，才能用判别式来建立关于y 的不等式，求得函数的值域.

二、换元

换元法主要有整体换元、三角换元、局部换元、均值换元.当面对结构复杂的多项式分式函数值域问题时，我们可以将函数式的某一个部分看作一个整体，用新元来替换，这样便能使函数式变得更加简单，从而从新的角度找到解题的思路.

例2.设 a >0，求 f（x）=2a（sinx + cosx）-sinx∙cosx -2a2的最值.

解：设sinx + cosx =t ，则 t ∈[- ，]，

由（sinx + cosx）2=1+2 sinx∙cosx，

得sinx∙cosx = ，

所以 f（x）=g（t）=-（t -2a）2+（a >0），

t ∈[- ，].

当 t =- 时，f（x）取最小值-2a2-2 a - ，

当2a ≥ 时，t = ，f（x）取最大值：-2a2+

2 a -

当0<2a ≤ 时，t =2a ，f（x）取最大值 .所以 f（x）的最小值为-2a2-2 a - ，

最大值为

解答该题主要运用了局部换元法，设sinx+ cosx =t，便建立了sinx + cosx与sinx - cosx之间的联系，将三角函数值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，结合二次函数的图象和性质求得最值.在换元的过程中，同学们一定要注意新、旧元范围的等价关系.

三、利用三角函数的有界性

对于一些与三角函数有关的分式最值问题，在解题时，我们通常要将 y 看作参数，利用三角函数中的基本公式对三角函数式进行恒等变换，以便将其转化为只含一种函数名称的最简形式，然后利用三角函数的有界性求得最值.

例3.求函数 y = 的值域.

解：由于-1≤ cosx ≤1，

所以分母2cosx+10≠0，y = 可以变形为10y +3=3 sinx -2y cosx = sin（x -α），其中3 ，.         9+4y2，

而-1≤ sin（x -α）≤1，

所以-1≤ ≤1，解得：-≤ y ≤0，因此函数的值域为[-，0].

解答本题，需先将函数式变形，以便运用辅助角公式将三角函数式简化，然后运用三角函数的有界性建立关于 y 的不等式，求得 y 的取值范围，即可求得函数的值域.

相比较而言，第二种途径的应用较为广泛，第三种途径较为简单.但无论运用哪种途径求函数的值域，都需要将函数式进行恰当的变形，如换元，变形为一元二次方程、三角函数式，同时要关注函数的定义域，以确保所得的函数值域满足题意.

（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）