求解抛物线中三角形面积最值问题的两种途径

沈惠林

三角形的面积最值问题一般较为简单，而抛物线中的三角形面积最值问题则较为复杂，通常需利用抛物线的定义、几何性质、标准方程以及三角形的性质、面积公式来求解.下面，笔者结合例题，详细介绍解答抛物线中三角形面积最值问题的两种途径.

一、割补图形

三角形的面积公式主要有两种形式：（1） S =底×高;（2）S = ab sin C .有些抛物线中三角形的面积很难快速求得，此时可将三角形分割或补充为面积易于求得的三角形，然后根据三角形的面积公式分别求得几个三角形的面积，再通过加减运算求得问题的答案.

例1.已知抛物线 y =-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（-3，0）两点.

（1）求该抛物线的方程.

（2）C 为抛物线与 y 轴的交点.在第二象限，抛物线上是否存在点 P，使得△PBC 的面积最大？如果存在，请求出点 P 的坐标以及△PBC 面积的最大值;如果不存在点 P，请说明理由.

解：（1）y =-x2-2x +3.（过程略）

（2）设点 P 的坐标为

x， -x2-2x +3（-3<x <0），

过 P 作 PE⊥BO ，

由图1可知S△PBC =S四边形BPCO -S△BOC =S四边形BPCO -2，

当四边形 BPCO 的面积最大时，△PBC 的面积取最大值，

S四边形BPCO =SRT△BPE +S直角梯形PEOC = BE ∙PE + OE·（PE + OC）=（x +3）（-x2-2x +3）+（-x）（-x2-2x +3+3）=-（x +）2+ + ，

当 x =-时，S四边形BPCO最大值= + = ，

所以 S△PBC =S四边形BPCO -S△BOC =8-2=2，

则-x2-2x +3= ，解得 x =-，

所以点 P 的坐标为（- ，）.

△PBC 的面积很难快速求得，于是通过割补图形，将△PBC 看作四边形BPCO 的一部分，作PE⊥BO，先求得四边形BPCO 面积的最大值，再减去△OBC 的面积，便可求得△PBC 面积的最大值.

二、采用切线法

当三角形的底一定时，要使三角形的面积最大，需使三角形的高最大.可以采用切线法，过抛物线上的一点作切线，则该点距离三角形的底最远，即可得到最大的高，就能使三角形的面积最大.

例2.已知抛物线 y =ax2+bx +2（a ≠0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（-2，-3）和点 E（3，2），点 P 在第一象限.

（1）求该抛物线的方程.

（2）当△BPC 的面积取最大值时，求△BPC 面积及点 P 的坐标.

解：（1）y =- x2+ x +2;（过程略）

（2）如图2，过 P 作抛物线的切线 PE ，且使 PE∥BC ，

由题意可得直线 CB 的方程图2为 y =- x +2.

设直线 PE 的方程为y =- x +b ，

则

整理得：- x2+ x +2=- x +b - x2+2x +2-b=0，

所以△=8-2b =0，解得： b =4.

所以点 P（2，3），△BPC 最大值为4.

要使S△PCB 最大，需使P 到 BC 的距离最大，于是过 P 作抛物线的切线 PE，且使 PE∥BC，则 PE 与抛物线有且只有一个交点，此时 S△PCB 最大.将直线 PE 的方程与抛物线的方程联立，根据△=0，求得 P 點的坐标，即可求得S△PCB 最大值.

解答抛物线中三角形面积最值问题，第一种途径用得较多，且易于操作;第二种途径虽然运算量较小，但很多同学难以想到.在解题时，同学们可根据图形和解题需求，合理选择与之相应的解题方法.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）