基于随机过程的可靠性建模

盖炳良，张晓瑜

（1.武警海警学院，浙江宁波 315801；2. 32317部队，新疆乌鲁木齐 830001）

基于Wiener 过程、Gamma 过程和逆高斯（Inverse Gaussian，IG）过程的性能退化可靠性评估方法，因其良好的统计特性和较高的建模精度，逐渐成了可靠性评估领域的1 种重要建模方法，在导弹武器装备贮存延寿等领域已被广泛应用。

近几年，随着研究逐渐深入，在随机过程基本模型基础上，出现了多种扩展模型，主要有考虑随机影响的模型、考虑协变量的模型、考虑测量误差的模型以及双时间尺度模型等。考虑随机影响的随机过程模型的构建，是通过将模型的1 个或多个参数随机化处理来实现的。一般认为，考虑随机影响的随机过程模型，描述了产品个体在生产工艺、操作使用、贮存环境等方面的差异，从而使模型具有更好的适应性及更高的拟合精度。

由于随机过程模型具有较强的扩展性，并且Wiener过程，Gamma过程和IG过程模型参数名称也不尽相同。因而，为便于研究，本文从产品退化过程的均值和方差角度入手，将考虑随机影响的3 类随机过程模型标识如下：

1）Random Drift Model（RD）——不同产品具有不同的退化过程均值，而方差相同；

2）Random Volatility Model（RV）——不同产品具有相同的退化过程均值，而方差则不相同；

3）Random Drift-Volatility Model（RDV）——不同产品具有不同的退化过程均值和方差。

此外，采用Simple Model（SM）标识随机过程基本模型，即不同产品都具有相同的退化过程均值和方差。Wiener 过程，Gamma 过程和IG 过程模型具体定义详见文献[1]。

下面，将从考虑随机影响的随机过程模型在一元性能退化、多元性能退化、加速退化以及竞争失效下的应用情况进行综述，并展望下步研究方向。

1 可靠性建模综述

1.1 一元性能退化建模

Doksum首次将Wiener SM 模型应用于工程领域，之后，Wiener 过程模型在可靠性评估领域得到了深入研究和应用。赵建印等采用Wiener SM、Gamma SM 对金属化膜脉冲电容器进行了可靠性评估。在基于多阶段退化建模中，Feng 等假定每个阶段性能退化都服从Wiener SM 模型，不同产品都具有相同的变点，而Gao等则假定失效阈值也是变动的。

Peng 等首次提出了Wiener RD 模型，将漂移参数假定为服从正态分布的随机变量，而扩散参数则为固定常数，并应用于GaAs 激光装置性能退化建模。由于漂移参数表征产品的退化率，因而该模型有具体的物理意义，表明即使是同一型号、同一批次的产品，仍然具有不同的退化率。之后，该模型得到广泛应用，比如Li 等、史华洁等都采用该模型进行了相关研究。随着研究进一步深入，有学者采用Wiener RD模型建模的同时，也结合了考虑测量误差的模型，如司小胜等在研究激光发生器和陀螺仪的可靠性时采用了RD模型，且同时考虑了测量误差的情形。

Wang 等采用了Wiener RDV 模型，考虑Wiener过程模型的漂移参数和扩散参数都是随机变量，且假定服从正态-Gamma 共轭分布。之后，彭宝华等研究金属化膜脉冲电容器个体剩余寿命，徐廷学等研究GaAs激光器可靠性，都采用了类似模型。

一般认为Abdel-Hameed首次将Gamma SM 模型引入到可靠性评估领域。

在考虑随机影响的Gamma 过程模型中，Gamma RDV模型研究较多。Lawless等、Ye等在对裂纹增长数据研究中都采用了该模型。Tsai等研究激光器退化试验优化设计时，假定Gamma 过程尺度参数是1 个服从Gamma 分布的随机变量，因而Gamma过程的均值和方差都受到随机影响，并且分析了采用不考虑随机影响Gamma过程模型带来的误差。Chen等研究飞机指示灯可靠性时，为考虑不同飞机可能带来的差异性，分别建立了Gamma 过程和IG 过程均值和方差都受到随机影响的退化模型。

IG过程在性能退化可靠性评估领域的广泛应用，通常认为源于Wang 等对GaAs 激光器退化数据的研究。

近些年，考虑随机影响的IG 过程模型研究较多，如Ye 等研究GaAs 激光器性能退化数据，考虑了多个基于随机影响的IG过程模型；Pan等采用IG RDV过程对激光退化数据进行建模；Peng等采用贝叶斯方法，采用时变退化率情形下的IG过程模型对重型机床性能退化建模，并假定退化率函数的尺度参数为服从Gamma分布的随机变量。

1.2 二元性能退化建模

很多产品的失效机理复杂，采用一元性能退化参数往往难以全面、准确地表征其寿命退化指标，因而基于多元性能退化参数的可靠性评估成为研究的难点。二元性能退化可靠性评估是多元可靠性评估的基础，也是目前多元性能退化可靠性评估中研究最为广泛的1种。

二元Wiener过程建模中，边缘分布大都采用Wiener SM 模型，比较有代表性的研究有：彭宝华研究了平衡测量和非平衡测量数据的退化相关建模方法；Zhang等研究了基于贝叶斯方法的可再充电锂电池的二元性能退化可靠性评估。

考虑随机影响的二元Wiener模型研究不多，且假定边缘分布服从Wiener RD模型。

Zhou等研究二元裂纹增长数据性能退化，Yang等研究滑阀的可靠性评估，吕昊等研究车轮性能退化建模，张根保等研究机电产品元动作单元性能退化时都采用了二元Gamma 过程模型，边缘分布采用Gamma SM模型。

考虑随机影响的二元Gamma 过程模型的研究较少，Wang 等研究二元裂纹增长数据，Hao 等研究LED 产品的可靠性时，都假定边缘分布服从RDV 模型。RODRÍGUEZ研究电子产品的裂纹增长数据时，边缘分布则采用了多个考虑随机影响的Gamma过程模型。

二元IG 过程建模研究还较少，Liu 等研究二元裂纹增长数据时，边缘分布采用了RDV 模型。Duan等在其研究中则采用考虑随机影响的IG 过程模型进行边缘分布建模，并以Copula 函数描述相关性，以DIC值和均方根误差作为模型选择依据。

1.3 加速性能退化建模

针对常规应力下高可靠性产品性能退化缓慢、试验时间长、效率低等问题，加速试验就成为缩短试验时间，提高效率的有效手段，从而逐渐受到关注。

围绕加速性能退化建模的1个关键前提就是确定模型参数与加速应力的关系，这也一直是加速退化数据可靠性评估中的难点。对现有文献进行分析，主要有2种方法。

第1 种方法是由学者根据自身经验进行假定。Wiener 过程存在着2 个不同假定：Padgett 等、Lim等、Tsai 等和Sung 等等假定漂移参数与应力有关而扩散参数与加速应力无关；Whitmore 等、Liao等和Wang 等等假定漂移参数和扩散参数都与加速应力相关。

Gamma 过程存在着3 种不同假定：Tseng 等和Sun 等假定Gamma 过程的形状参数与加速应力相关；而Lawless等和Wang等假定Gamma过程的尺度参数与加速应力相关；Ling等假定Gamma过程形状参数和尺度参数与应力都服从逆幂律。

IG 过程也存在3 种不同的假定：Li 等假定只有IG 过程模型的均值与应力相关；He 等假定只有IG过程的方差与应力有关；Ye等、Duan等假定IG过程的均值和方差都与应力相关。

第2种方法是通过加速因子不变原则推导模型参数与加速应力的约束关系。加速因子不变原则是指为保证加速因子具有工程应用性，加速因子应当是1个不随时间变化的常数。据此，王浩伟等推导得到了加速应力与Wiener SM模型漂移参数和扩散参数的约束关系，Wang等推导得到了Gamma SM模型中应力与参数的约束关系，王浩伟等推导得到了IG SM模型中应力与参数的约束关系。

加速应力作用下，如何体现产品个体差异性是个难题。针对Wiener 过程，有2 种处理方式：1）首先通过假定确定与加速应力相关的参数，再将该参数的加速模型某个参数假定为随机变量以体现个体差异，可见，该方法仍然是通过假定确定参数与加速应力关系的；2）应用加速因子不变原则，在Wiener RD 模型基础上再引入参数的加速模型。加速应力下基于考虑随机影响的Gamma和IG过程模型研究还很少，Ye 等、王欢等在研究加速试验优化设计时，都考虑了IG RV模型，即假定方差具有个体差异性。

1.4 竞争失效建模

钟群鹏等从哲学高度对失效学进行了辩证认识和科学剖析，总结了失效建模的动态发展过程，而竞争失效建模就是在传统失效建模和性能退化建模基础上发展的，是将可靠性评估从退化失效型低层级向复杂情形推广应用的基础。

竞争失效按照失效属性可分为突发失效和性能退化失效。竞争失效中的性能退化研究，之前集中在一元性能退化，近年来，针对多元性能退化的研究也逐渐成为研究热点。

竞争失效中的性能退化建模采用的模型，应用较广的2 类模型分别是考虑随机影响的线性模型以及两参数Weibull分布。

随着研究深入，随机过程也逐渐应用到竞争失效下的性能退化建模。Kong等、Zhao等都采用Wiener SM 模型作为竞争失效下的性能退化模型。Song等、Wang 等采用Gamma 模型进行竞争失效下退化建模。王浩伟等研究竞争失效下的导弹可靠性评估时，引入状态空间模型评估整弹退化程度，采用Gamma SM模型进行退化建模。在此基础上，蔡忠义等对性能退化建模做了改进，采用Wiener SM、Gamma SM和IG SM模型对整弹退化程度数据进行拟合，以AIC值为依据进行模型选择。

竞争失效中的突发失效建模，目前主要有2 种建模方法。一是采用Weibull分布、指数分布等进行突发失效建模，如张英芝等，蔡忠义等都采用Weibull分布，赵建印等采用了指数分布。二元性能退化和突发失效竞争失效典型的建模过程，通常首先采用随机过程进行边缘分布建模（文献[71]对航空发动机二元性能退化采用了Wiener过程和IG过程进行边缘分布建模），然后选择Copula 函数进行二元性能退化相关性建模，最后构建突发失效关于性能退化量的条件概率。突发失效与性能退化相关性则基于如下假定：突发失效发生在产品退化初期，则认为两者不相关；若突发失效始终伴随着退化过程，则认为两者相关。

二是基于随机冲击的突发失效建模。一般认为突发失效由4类随机冲击引起：累积冲击、连续冲击、极端冲击和冲击。随着研究深入，冲击模型由单一模型趋向包含连续冲击、极端冲击和冲击的混合冲击模型等。

2 发展趋势及挑战

虽然考虑随机影响的随机过程建模方法是目前较为前沿且具有较高建模精度和效率的1种可靠性评估方法，然而，当代装设备的快速发展，对可靠性也提出了更高的要求。基于随机过程的可靠性建模存在3个需进一步深入研究的问题：一是随机过程模型选择；二是确定模型参数与加速应力的关系；三是竞争失效建模假定。

2.1 随机过程模型选择

虽然随机过程建模得到了深入研究和广泛应用，但在一些研究中仍存在模型并非拟合相对最优、建模精度有待提高的问题。比如，单调退化的性能退化数据，往往只采用Wiener过程、Gamma过程或者IG过程中的1 个随机过程进行建模，没有在一定适用范围内进行模型选择，忽略了其他随机过程模型的适用性，较易导致模型的误判。另外，即便考虑模型选择，也存在着模型选择依据相对单一的情况，现有研究通常仅以AIC值作为模型选择主要方法，也易导致模型误判。

2.2 随机过程模型参数与加速应力关系的确定

准确确定模型参数与加速应力的约束关系是加速应力下可靠性评估的前提，也是难题。在现有文献中，多数都是通过主观经验假定确定模型参数与加速应力的关系，因而主观性较大。虽然文献[51-53]中采用加速因子不变原则推导确定参数与应力的约束关系，避免了主观假定可能带来的误差，但是该推导都是基于Wiener SM、Gamma SM 和IG SM过程模型的，推导所得结论是否适用于考虑随机影响的模型仍需要进一步研究验证。此外，在基于加速应力作用的多元相关可靠性评估中，产品间可能存在的随机相关性问题也需做进一步深入研究。

2.3 竞争失效建模假定

基于随机冲击的竞争失效研究中，退化与冲击的相关性趋于复杂。目前，研究一般都认为退化和冲击是相关的，只是对相关性的具体假定不同，其中有2个常用的假定，即“每个随机冲击都能引起额外退化增量”和“产品的突发失效阈值在退化过程中都是保持不变的”。虽然这2个假定便于运算，但仍需要进一步研究以做出更贴近常理的假定。

3 结论

基于随机过程的可靠性建模为装备可靠性评估提供了1种有效方法，其在导弹等武器装备的定寿、延寿等理论研究和实践中得到了广泛应用。本文系统梳理了基于随机过程的可靠性建模在一元性能退化、二元性能退化、加速性能退化及竞争失效建模中的实际应用情况，展望了下一步的研究方向，对于完善基于随机过程的可靠性建模理论，进一步推动装备可靠性评估发展具有一定的指导意义。