基于Simulink/SimMechanics的四足机器人足端轨迹规划及动态仿真分析

黄照翔，颉潭成,2*，徐彦伟,2，王亚锋

（1.河南科技大学 机电工程学院，洛阳 471003；2.智能数控装备河南省工程实验室，洛阳 471003）

0 引言

四足机器人具有良好的运动性能和环境适应性，在复杂多变的路况能稳定运动，被广泛应用于军事、救援、环境探测等领域[1]，因此对四足机器人步态运动规划，足端轨迹规划的研究成为当今众多学者研究的热点，而足端轨迹规划的好坏直接影响了四足机器人运动的平稳性，机构的使用寿命等。目前应用比较广泛的足端轨迹规划函数有多项式运动轨迹、椭圆运动函数、摆线运动函数等[2]，为了足端轨迹能更好的适应环境变化，很多研究者都会对这些函数进行改进。例如，日本学者Yoshihiro SAKAKIBARA[3]等人对正弦函数存在的缺点进行改进，提出了在前进方向和竖直方向上的加速度采用正弦函数的方法；韩国汉阳大学的Kyeong YongKim[4]等人把椭圆运动规律作为足端运动的轨迹，并且可以通过改变椭圆的短轴，长轴以及中心点的位置来改变椭圆的形状使足端轨迹适应不同的环境；北京理工大学的王立鹏提出了一种零冲击轨迹规划方法[5]，该方法采用复合摆线的方式对足端进行轨迹规划，保证了足端位移函数和速度函数的连续性、可导性，使足端在落地时的速度和加速度为零；山东大学提出了一种多项式足端运动轨迹[6]，在摆动相和支撑相都采用三次多项式作为轨迹函数；上海交通大学的何东青对修正摆线足端轨迹进行了改进[7]，将足端摆动相的运动轨迹划分三个阶段抬腿、跨步、落足，为了使跨步阶段的速度恒定，将该阶段的加速度设为零，同时保证抬腿和跨步两个阶段的加速度为正弦函数。为了使四足机器人在行走过程中足端运动更加平稳，本文将运用改进型等速运动规律与叠加摆线运动规律复合的方法对四足机器人的足端进行轨迹规划，并在建立的四足机器人动态模型中分析其有效性和可行性。

1 足端轨迹规划

对四足机器人的足端轨迹进行运动轨迹规划，首先要明白四足机器人步态行走的过程，即四足机器人各腿之间在摆动相和支撑相来回切换的一个行进过程。支撑相和摆动相是描述单腿运动的两个状态[8]，支撑相是指四足机器人的单腿足端与地面相接触，承载着机器人的负载，并且通过关节相位变化推动机器人的重心在前进方向移动。摆动相是指单腿足端从开始离开地面迈腿后落地的一个状态，而摆动相决定着机器人在单个步态时抬腿的高度和步距的大小。在摆动相和支撑相来回切换时，处于摆动相的足端在落地时会与地面产生一定的冲击造成机体的振动，所以对足端进行轨迹规划主要是对摆动相进行无冲击的轨迹规划设计[9]。对支撑相进行轨迹规划时我们应尽量使机身与地面保持水平，避免躯干起伏，为了同时能够保证足端与地面之间没有相对滑动的趋势，将足端轨迹采用匀速直线运动[10]，从而完成机体的向前移动。四足机器人单腿在一个步态周期内的足端轨迹规划运动过程如图1所示。

图1 单腿足端轨迹运动过程图

1.1 改进型等速运动规律规划

改进型等速运动规律是一种组合型运动规律，就是几种不同运动规律组合在一起而设计出的运动规律，组合时不同的曲线在拼接处必须保持连续，即拼接处的位移，速度，加速度要相同。改进型等速运动规律是在等速运动规律的基础上，为了保证等速运动的同时速度又不会产生突变，将正弦运动规律与等速运动规律组合而成。这种方法通常是在等速运动曲线的1/4周期和3/4周期处拼接半个周期的正弦加速度运动曲线，这样可以使两个曲线在拼接处的加速度为零，防止速度和位移产生突变，这种组合方式是一种无刚性和柔性冲击的运动规律。基于此我们可以得出改进型等速运动规律的位移曲线；

有边界条件t=0时S=0且t=T时S=S0，可以求得待定系数A的值：

式中t∈[0，T]，T为运动周期，为运动行程，有式(1)～式(3)可以得出改进型等加速运动规律的位移曲线图，如图2所示。速度曲线图，如图3所示。加速度曲线图，如图4所示。

图2 位移曲线图

图3 速度曲线图

图4 加速度曲线图

1.2 叠加摆线运动规律规划

叠加摆线运动规律是将两条不同周期的摆线运动进行叠加形成的运动规律，叠加形成的摆线与摆线运动规律相比速度曲线中间段为等速，运动更加平稳，加减速的运动效率更高，并且没有刚性和柔性冲击。摆线运动规律的位移曲线为S0(t)，则位移如式(4)所示：

设两条相加的摆线位移曲线为：S1(t)，S2(t)。

叠加摆线运动规律位移曲线为S(t)则：

式(7)中t∈[0，T]，T为运动周期，a，b为两条叠加摆线的系数，有式(7)可得叠加后的摆线位移曲线图，如图5所示；速度曲线图，如图6所示；加速度曲线图，如图7所示。

图5 叠加摆线位移曲线图

图6 叠加摆线速度曲线图

图7 叠加摆线速度曲线图

1.3 复合运动轨迹规划

四足机器人的行走轨迹由单腿足端摆动相轨迹和支撑相轨迹组成，对足端轨迹实现规划我们首先要确定轨迹的起始点，最高点，落足点的信息，然后运用复合运动合成轨迹。为了使机器人行走稳定在水平方向上使用改进型等速运动规律，运动周期为T，在竖直方向上的抬腿阶段和落地阶段使用叠加摆线运动规律，运动周期分别为T/2。由改进型等速运动规律和叠加摆线运动规律复合形成足端摆动相的运动轨迹，以匀速直线运动作为足端支撑相运动轨迹，足端轨迹如图8所示。

图8 足端轨迹位移曲线图

2 动态仿真

为了验证本文足端轨迹规划方法的可行性，在MATLAB软件的Simulink中建立四足机器人的动态仿真模型。四足机器人模型实现动态行走目前主要依赖于运动学关系的实现[11]，其次是机器人足端与地面接触力的模型设计。所以首先要建立单腿的运动学模型，通过几何解析法推导正逆运动学方程，然后将规划好的足端轨迹坐标函数通过逆运动学方程得出每个位置坐标点对应的髋关节和膝关节的关节角度变量，将这些关节角度变量作为仿真模型的驱动变量实现足端轨迹行走，轨迹仿真模块如图9所示。足端与地面接触力模型的建立采用External Force and Torque模块，该模块代表一个外部机构施加在刚体上的一般力和力矩，而地面对足端的接触力是一种阻尼力其大小与足端位移速度以及阻尼系数相关，足端与地面接触力模型如图10所示。

图9 轨迹模块仿真图

图10 足端与地面接触力模型仿真图

在动态模型建立的基础上，以四足机器人的Trot步态为例，分别对改进型等速运动规律与叠加摆线运动规律复合形成的足端运动轨迹和复合摆线足端运动轨迹进行仿真，对比分析这两种足端轨迹在直角坐标空间和关节空间的运动特性，动态仿真模型如图11所示。

图11 四足机器人动态仿真图

2.1 直角坐标空间足端轨迹运动仿真

由仿真得到四足机器人在直角坐标空间下的运动曲线，在基于改进型等加速运动与叠加摆线运动复合而成的轨迹规划方法下，其足端速度，加速度曲线，如图12(a)、图13(a)所示。在基于复合摆线运动规律的轨迹规划方法下，其足端速度，加速度，如图12(b)、图13(b)所示。

图12 速度曲线

图13 加速度曲线

2.2 关节坐标空间足端轨迹运动仿真

通过仿真得到四足机器人在关节坐标空间的运动曲线，在基于改进型等加速运动与叠加摆线运动复合而成的轨迹规划方法下，其髋关节和膝关节的角度变化曲线如图14(a)所示，角速度曲线如图15(a)所示，角加速度曲线如图16(a)所示。在基于复合摆线运动规律的轨迹规划方法下，其髋关节和膝关节的角度变化曲线如图14(b)所示，角速度曲线如图15(b)所示，角加速度曲线如图16(b)所示。

图14 关节角位移曲线图

图15 关节角速度曲线图

图16 关节角加速度曲线图

3 对比分析

由图12足端速度曲线可知，两种复合运动轨迹的速度曲线都相对平滑，自然，没有尖点出现。而改进型等加速运动与叠加摆线运动复合形成的速度曲线与复合摆线形成的速度曲线相比，其速度峰值有所降低，速度变化的波动范围有所下降，而且在水平方向和竖直方向上都有较长的匀速运动阶段，在前进和抬腿方向运动更加平稳。由图13足端加速度曲线可知，两条复合运动轨迹的加速度曲线在峰值上并无明显的变化，但改进型等加速运动与叠加摆线运动复合形成的加速度曲线与复合摆线形成的加速度曲线相比，其加减速时间明显缩短，加减速过程更快，运动效率较高。有表一可得，复合运动轨迹在水平方向和竖直方向的速度峰值均减少了30%左右。总体来说基于改进型等加速运动与叠加摆线运动复合形成的足端轨迹在水平与竖直方向都能长时间保持匀速，而且速度峰值有所降低，加减速效率更高，运行较平稳。

由图14关节角位移曲线可知，两种轨迹规划方法下的角位移都相对平滑、自然，无剧烈波动现象，关节角位移峰值无明显差别。由图15关节角速度曲线得，改进型等加速运动与叠加摆线运动复合形成的角速度运动曲线与复合摆线的角速度运动曲线相比，峰值得到降低，而且峰值处变化比较平缓，无突变现象。由图16关节角加速度曲线得，两种轨迹的膝关节角加速度曲线走势基本一样，但改进型等加速运动与叠加摆线运动复合形成的髋关节角加速度运动曲线与复合摆线的髋关节角加速度运动曲线相比，减速过程中角加速度峰值较大，减速过程较快。有表二可得，复合运动角速度降低13%左右，角加速度增加43%左右。总的来说基于改进型等加速运动与叠加摆线运动复合形成的轨迹与复合摆线轨迹规划相比，在关节空间，其角速度曲线变化平稳，加减速过程加快。

表1 直角坐标空间运动状态对比

表2 关节坐标空间运动状态对比

4 结语

本文利用改进型等加速运动规律与叠加摆线运动规律复合运动对四足机器人足端轨迹进行规划，并在MATLAB的Simulink中建立四足机器人的动态仿真模型，分析四足机器人足端在直角坐标空间的轨迹曲线，以及膝关节和髋关节下的角度变化曲线。研究结果表明：1）改进型等加速运动规律与叠加摆线运动规律复合形成的足端轨迹曲线在竖直方向与水平方向都有一段匀速运动阶段，而且落地速度为零，使得整体运动更加平稳。2）膝关节和髋关节的角度，角速度，角加速度变化曲线都相对光滑、连续、无尖点出现减小了运动过程中的振动。