地震损失的空间相关性及其对震害损失估计的影响

周 阳，王自法，石 磊，仝文博

（1.河南大学土木建筑学院，河南 开封 475004；2.中震科建（广东）防灾减灾研究院，广东 韶关 512029；3.中国地震局工程力学研究所，黑龙江 哈尔滨 150080）

引言

地震损失估计对于地震灾害预警、震后应急救援和国家防灾减灾规划等有着重要的意义。地震损失估计需要考虑地震的发生、发展、场地影响和工程特征及其破坏规律等多种复杂因素，所以地震损失估计结果包含着很大的不确定性［1－2］。地震损失的评估结果不仅需要其平均值，还需要其方差和分布特征［3］。在城市尺度或者区域层次上估计地震损失，不仅需要每栋建筑物的损失及其分布，还需要各栋建筑物损失之间的损失相关关系［4］，所以必须要研究地震损失的空间相关性。

地震损失的空间相关性是指当地震损失是一个具有给定均值、方差和分布的随机变量的时候，位于不同地点的建筑物损失之间的相关关系。因为影响地震损失的因素很多且极其复杂，很难在理论上给出地震损失空间相关的精确表达式。一般地说，可以用下面四种方法来研究地震损失的空间相关性：第一个方法是按照巨灾风险分析模块化的思路，研究各模块及其内部主要参数的空间相关关系，然后通过对所有模块的多维卷积积分得到损失的空间相关关系。这个方法理论上可行，由于至少需要地震动的空间相关和结构易损性之间的空间相关及其之间的相关关系，数据和运算需求高、卷积计算极其繁琐，并且结构易损性之间的空间相关等没有足够的实测资料验证，所以目前还没有看到成熟的研究案例和成果；第二个方法是经验参数法，即按照专家的意见给出一个经验参数，通常是一个常数，和空间距离的变化无关。目前世界上多数的巨灾风险模型都是采用这个方法［5］，其主要问题是没有得到实际详细地震损失数据的验证，并且没有考虑随着建筑物相隔距离的增加相关性逐渐减少的实情；第三是综合实际震害资料和专家意见，给出一个半经验的空间相关关系［6］。这个方法比方法二有了长足的进步，但是其所依赖的实际震害资料数量有限，而且主要的还是遵从专家意见；第四个方法是完全依赖实际震害得到的地震损失空间相关关系，这是最为准确的方法，但是这个方法一直没有实现是因为没有积累到大量的详细地震损失数据。

2011 年3 月11 日东日本大地震发生后，作者通过原来就职过的美国再保险公司Validus 获得了55 万栋房屋的详细地震破坏。该研究计划充分地利用这个资料，从实际震害的角度给出地震损失的空间相关关系并利用最新的基于高精度模拟的地震巨灾风险分析方法，研究不同的空间相关性对地震损失及其分布的影响。

1 地震损失的空间相关性及现有研究方法

1.1 地震损失的空间相关性

因为没有发生的地震事件是一个随机事件，地震损失的空间相关性会对地震损失分布估算造成影响［7］，因此必须对地震损失的空间相关性进行研究。在一个地震事件中：位于两个地点的建筑物损失的相关性是指两个建筑物损失的相关程度，相关性以0～1 之间的数值表示。空间相关性存在两个极值：空间相关性等于1，地震损失中的所有建筑都与其他建筑完全相关；当空间相关性等于0，地震损失中的所有建筑都与其他建筑完全独立。空间相关性为极值时，位于不同地点的建筑物总损失的计算方法不同：

当地震中损失的空间相关性等于1，位于不同地点的建筑物总损失标准差等于每个地点的建筑物损失标准差的和：

式中：σy为建筑物总损失标准差；σi为每个位置的建筑物损失标准差；n为总位置数。

当地震中损失的空间相关性等于0，位于不同地点的建筑物总损失标准差等于每个地点的建筑物损失方差和的平方根：

实际上，建筑物的破坏是一个具有高度不确定性的随机过程［8－9］，建筑物损失之间的相关性应该处于上述两个极值之间，且随着距离的增大而减小。目前常用的研究地震损失相关性的两种方法可以简单地归纳如下。

1.2 经验参数法

经验参数法被世界上多数的巨灾风险模型所采用的，该方法主要是根据专家的经验来估计相关性，空间相关性权重用w表示。一般地说，根据专家经验得出的相关性都是一个常数且不随建筑物之间的距离而变化，例如：加州地震建筑物损失的相关性权重是20%而独立性权重是80%；美国新马德里地区地震建筑物损失的相关性权重是17.5%而独立性权重是82.5%，但是这些经验数据从来没有得到实际震害数据的验证，其准确性有待商讨。

在确定地震事件损失的相关性权重w之后，通过权重值和每个地点的建筑物损失标准差来计算建筑物总损失的标准差：

经验参数法虽然可以将每次地震事件中建筑物损失之间的相关性和独立性单独地列出，但对于建筑物之间的距离影响没有考虑，因此所得结果难以反映地震损失分布的实际情况。

1.3 半经验法

半经验法是指考虑了空间相关性随距离的变化，但是空间相关性的决定依赖专家的意见和有限的历史震害资料，通常以表格的方法表示［6］。因为该方法考虑了相关性随着距离的变化，方差的计算不能利用简单加权的方法，而是需要通过相关系数和距离之间的关系表，结合每栋破坏建筑标准差的方法进行建筑总损失方差的计算：

式中：ri，j、σi和σj分别为建筑物i与建筑物j之间的损失相关性值、建筑物i的标准差和建筑物j的标准差。

半经验法中的相关系数虽然参考了加州地震的历史震害数据［6］，但是由于加州地震详细破坏数据样本的有限性，而且还结合了专家的经验，因此半经验法的精度仍然有待验证。

综上所述，经验法和半经验法在考虑地震损失的空间相关性方面的精度时主要依赖专家的意见［10］，更好的方法应该是基于大量建筑物详细破坏的资料来直接统计地震损失的相关性［11－12］。

2 实际震害相关系数与建筑间距离关系计算

为了更加准确地描述地震损失的空间相关性，我们基于2011年3月11日东日本大地震中收集到的近55万栋房屋的详细地震破坏数据对相关系数与建筑间距离的关系进行了计算，从实际震害的角度给出地震损失的空间相关关系。

2.1 建筑物数据分析

建筑物的建筑年代和建筑物的结构类别是研究建筑易损性的关键因素，因此本文对日本3.11地震受灾房屋的建筑年代数据、结构类别数据和建筑破坏率的分布情况进行了统计处理，统计处理结果如图1所示。

图1 3·11日本地震受灾建筑物及破坏率分布Fig.1 Building type and damage distribution in Japan 3·11 earthquake

由图1可知：在日本3.11地震破坏的建筑中，建筑年代为1988年前的建筑占比较高；而结构类别中由于日本自然地理等原因，传统民居多是木结构，因此木结构占比较高，较轻的木结构抗震性能较好，故遭受较轻破坏的房屋较多。

2.2 地震损失的空间相关关系计算

基于日本3.11 地震建筑破坏数据选取22 个距离段，在每个距离段上抽取10 万对建筑破坏样本计算地震损失的空间相关性。空间相关性使用皮尔逊相关系数方法计算［13］，将每对建筑样本破坏情况视作两个变量，通过两个变量与该距离段下总样本平均值的离差相乘来反映两变量之间相关程度，如式（5）所示。式（5）中：xi和yj分别为每组样本中两栋建筑的破坏率（building damage ratio）：

式（5）对应22 个距离段的计算结果如图1 所示。为了未来的模拟应用，将22 个距离段得出的结果进行了曲线拟合，拟合结果如式（6）所示，式中：r为相关性；d为建筑间距离：

由图2可以看出：建筑之间的距离越大，地震损失的空间相关性也就越小，且在180 km以后该值趋于0。为验证结果的普适性，本文对新西兰受灾房屋的特征也进行了统计分析，并利用新西兰的详细震害数据分别计算了两次地震事件损失的空间相关性，统计分析结果如图3所示，其中：层高分布图中的1、2和3对应的为1层、2层和3层，因4层及4层以上房屋较少，将其统一划分为4。由于新西兰受灾房屋大部分建筑结构类别不详，因此未对新西兰受灾房屋的结构类别进行统计分析。

图2 空间相关性随建筑间距离的变化Fig.2 Spatial correlation changes with distance between buildings

通过对比图1 和图3 以及对比图2 和图4 可知：虽然两国的受损房屋特征分布不同，地震规模和破坏成也不同，但是三次地震的损失空间相关性差别很小。由于日本3.11 地震建筑破坏资料数据更为详细，其结果应该更加具有普适性，因此，在未来对于其他国家地区的地震损失分析中，应该可以直接利用公式（6）来模拟建筑之间地震损失的空间相关性。

图3 新西兰两次地震受灾建筑物类别分布Fig.3 Distributionof damaged buildings during two earthquakes in New Zealand

对这两次地震损失的空间相关性进行计算，其不同距离段的损失相关性及曲线拟合结果如图4所示。

图4 新西兰地震损失相关性及拟合结果Fig.4 Spatial correlation and its approximation of earthquake loss in New Zealand

3 空间相关性在地震损失模拟中的应用

在地震损失模拟中，每一点地震损失的分布一般可以用某种分布（例如高斯正态分布，对数正态分布或者是Beta 函数等）来表示，而两点之间的相关性则可以利用高斯耦合（Gaussian Copula）来模拟［14］，其中相关系数则可以参考本文给出的和距离相关的系数。在一个大地震中，需要考虑的空间点数经常需要超过百万量级，这样同时考虑与距离相关的耦合在超过百万空间点上采样即使是在超级计算机上也无法实现。为了解决这个问题，该研究引入克里金插值方法（Kriging Interpolation）［14］，先选择有限的空间点，利用高斯耦合来模拟地震损失随距离变化的空间分布，然后利用克里金插值法将剩余的空间点补充上，这样得到所有位置上的地震损失空间距离相关分位数（qc）。另外，在实际应用中，为了更加广泛地考虑地震发生时建筑损失的不确定性和应用的灵活性［15］，地震损失的分位数同时考虑空间相关和空间独立两项，其中：空间距离独立分位数（qi）从完成的空间距离独立分位数文件中选取，该文件由9 亿个0～1 范围内服从正态分布的随机小数组成，qi根据位置点（location）与事件发生序列（occurrence）确定，qi选取公式可以表述如下，其中：qiindex为随机数的索引值：

同时考虑空间距离相关和空间距离独立两项的分位数可以表述如下：

式中：qc为距离空间相关性项；qi为距离空间独立项；Φ为累计分布函数（cumulative distribution function）；ρ为组合参数。

对于不同地区可以根据具体情况，调整组合参数ρ，根据以往对中国地震事件的研究［16］，我们选用ρ=0.8为两者的组合参数，根据上述方法得到每一个点的分位数之后，再根据该点的建筑物特性等选择对应的易损性曲线［17－18］，再结合每个地震的地震动，得到对应建筑物相对每一个地震的平均损伤比（mdr）和损失标准差（sd）。利用得到的损失比与标准差，根据选定的地震损失分布（例如beta 分布）和损失分位数就可以计算得出该位置各类建筑物对应每一个地震的损失［19］。最终，将所有位置所有建筑物的损失加起来就可以得到地震总损失。需要说明的是：易损性关系的地震动可以用多种参数表示，例如烈度、峰值加速度和谱加速度等［20］。一般地说，地震的响应与建筑物的周期高度相关，因此本文选用结构基本周期对应的阻尼比为5%的谱加速度Sa（Spectral Acceleration）作为易损性关系中的地震动参数［21］。

4 克里金插值方法中采样数的选取

在前述地震损失模拟方法中，为了解决空间大样本的问题［22］，我们引入了克里金插值方法，但是如何合理地选择抽样样本的大小，需要提前决定。为了确定合适的抽样样本尺度，我们选取几个代表性的地震，通过变换样本的大小，看看样本大小对最终损失的影响。图3 所示的是一个样本地震在不同采样数下得出的损失。该样本地震根据中国及邻区潜在震源区划分图划分［23－24］，属于第4 个地震带的第35 个震源，地震震级7级，震中位于（40.542 5°N，116.012 5°E）。该地震影响到空间位置数为172 019个。

从图5 可以看出：采样数较小时损失结果较为离散，当采样数大于500 之后，损失计算结果基本稳定。通过大量的计算，对于所有的地震，当采样数为2 000时，所得最终损失计算结果都趋于稳定，而不同空间位置数量（地震影响场的大小）所需的采样数也不一样。为了方便应用，统一按照下列方案选取采样数，其中：a和b分别代表空间位置数量和采样数。

图5 采样数对地震损失的影响Fig.5 Influence of sampling number on earthquake loss

当a≥2 000 时，b=2 000；当2 000＞a≥800 时，b=500；当800＞a≥200 时，b=200；当a＜200 时，无需采样直接计算。

5 空间相关性对地震损失分布的影响研究

为了研究空间相关性对地震损失分布的影响，本文选取北京地区进行典型示范研究。在研究了以往GIS技术在地震损失的运用以及研究了研究区域内的财产分布情况后［25］，使用ArcMap在研究区域内生成模拟80余万栋建筑作为建筑物数据集，建筑物分布如图6所示。本文从巨灾模型的地震事件集中选取10余个北京地区周边的潜在地震事件，对建筑物数据集中所有建筑物进行震害损失模拟，所选取地震事件的震级大小及位置分布如图7所示。

图6 数据集中建筑物的空间分布 图7 地震事件的空间分布Fig.6 Spatial distribution of buildings in the data set Fig.7 The spatial distribution of seismic events

确定了地震事件震级大小及位置分布后，需要对模拟生成建筑物位置的地震动参数进行计算。基于俞言祥［23］对地震动衰减关系的研究，选用的地震动参数计算的衰减关系公式见式（9）。

式中：Y为地震动参数；M为震级；R为震中距；A、B、C、D和E为回归系数，各系数值见表1。

表1 衰减关系公式参数Table 1 Coefficient selection in the attenuation formula

计算出每个建筑物位置的地震动后，需要考虑场地条件对地震动的影响，该研究将30 m 等效剪切波速Vs30转换为我国的场地类型，并对模拟建筑的财产分布进行了统计，统计结果如图8所示。

图8 北京地区模拟建筑财产分布Fig.8 Simulated building property distribution in Beijing area

在研究了模拟建筑物的易损性类别后，需要对建筑物的破坏率进行计算。考虑到在不同相关系数下，建筑破坏的相关性存在差异［26］，所得到的地震损失分布也会有所不同，因此，为了进一步讨论空间相关性对地震损失分布的影响，本文选取了7 个相关系数，并计算出对应的地震超越概率损失分布，地震损失计算过程已在第三章最后一段阐述。在得到不同相关性系数下地震超越概率损失分布后，对不同相关性系数下的超越概率损失的比值进行了对比研究，模拟结果如图9 所示，其中横轴是地震的重现周期，竖轴是不同相关性系数下的超越概率损失与相关系数0.6时的超越概率损失比。

图9 与相关性=0.6超越概率损失比Fig.9 Exceedance probability loss ratio against correlation=0.6

由图9 分析可知：由于损失的相关性越大则建筑破坏率离散性越小，因此，当重现期较小时（即超越概率较大时），损失的相关性较大情况下建筑的破坏率普遍较小，损失的空间相关性与超越概率损失比呈负相关关系；当重现期较大时（即超越概率较小时），损失的空相关性较大情况下建筑的破坏率普遍较大，损失的空间相关性与超越概率损失比呈正相关关系。这个结果说明：空间相关性会增加大地震的损失估计或降低小地震的损失估计，所以研究地震损失的空间相关性非常重要。

6 总结

本文对地震损失的空间相关性进行了研究，以日本2011年3月东日本大地震中收集到的近55万栋房屋的详细地震破坏数据和新西兰两次地震的详细地震破坏数据为研究对象，对相关系数与距离之间的关系进行计算，给出了地震损失的空间相关关系。提出了利用高斯耦合模拟地震损失相关随空间距离变化的地震损失模拟方法，并进一步采用克里金插值法提高计算效率。以北京地区为典型示范进行震害损失分布分析，研究了不同空间相关性对地震损失的影响，得到以下结论：

（1）基于实际震害数据研究了地震损失随距离关系变化的空间相关性衰减规律，并给出了一个对应的拟合公式，在未来地震损失分析中，该公式可用于模拟建筑之间的地震损失的空间相关性。

（2）提出了利用克里金插值法提高了地震损失空间分布模拟效率，研究了克里金插值法所需样本的精度。

（3）以北京地区作为案例，对不同空间相关系数下地震损失分布情况进行了模拟。分析了不同空间相关系数对地震损失分布的影响，并给出了量化的结果。未来地震损失评估分析中参考该研究成果，可提高评估结果的准确性。