正切平方量子阱中的非线性光整流

段一名，李学超，张粮成，赵 庄

(安徽理工大学 力学与光电物理学院，安徽 淮南 232001)

近年来，低维半导体结构的非线性光学特性在理论物理和应用物理领域都得到了广泛运用.由于半导体生长技术的进步，已经有可能生产出不同类型的低维半导体结构，如量子点、量子阱、量子线和超晶格[1].因为低维半导体结构具备量子受限效应，所以许多新的非线性光学特性出现在这些低维半导体结构中[2-3].除了量子受限效应以外，形状和约束势对这些低维半导体的物理性质也有较大影响.此外，在所有非线性光学特性中，二阶非线性光学特性起着至关重要的作用，原因是其具备最简单和最低阶的非线性效应，并且其幅度大于所有其他非线性效应.基于以上因素，对具有不同形状和各种限制势量子阱的二阶非线性光学性质的研究已经引起学界的关注[4].

关于二阶非线性光学性质的相关研究在国内外学术界一直都是热点，Benmahrsia等[5]用密度矩阵理论和有限差分方法研究了具有润湿层的垂直耦合透镜形InAs/GaAs量子点在静水压力和温度下的非线性光学整流.Guanguly等[6]研究了高斯白噪声存在与否的不同境况下，杂质掺杂量子点的光学整流、二次谐波和三次谐波产生的特性.Yu等[7]用位置相关质量方法研究了量子阱中光学整流和二次谐波的产生.Liu等[8]用有限差分法研究了磁场作用对对称高斯势量子阱中非线性光学整流(OR)和二次谐波产生的影响.Sari等[9]研究了强激光场对δ掺杂GaAs量子阱中子带间光吸收和折射率变化的影响.然而在压力和温度的作用下，具有Utan2(πz/d)势的正切平方量子阱(QWs)的非线性光学性质尚未见报道.基于此,本文中，笔者从理论上研究在温度和流体静压作用下正切平方量子阱中的光整流系数.通过求解薛定谔方程得到了本征函数和能量本征值，并用密度矩阵方法和迭代法得到了OR系数的解析表达式;研究了在温度和流体静压作用下典型正切平方量子阱的OR系数，并进行数值计算和讨论.计算结果表明,流体静压、温度、限制势能和QWs的直径对OR系数有较大影响.

1 本征函数和能量本征值

考虑一个限制电位为Utan2(πz/d)的电子限制在系统中，当有效质量近似并在流体静压、温度作用下，系统的哈密顿量可以写成[9]

(1)

V(z)=Utan2(πz/d).

(2)

其中,ħ表示约化普朗克常数，z表示量子阱的生长方向，d和U分别表示量子阱的直径和限制势能.根据(2)可知,d和U对限制电位V(z)的影响很大.P表示流体静压，T表示温度，m(P,T)*表示量子阱中依赖于静水压力和温度的电子有效质量，由下式给出[10]：

(3)

(4)

(5)

通过求解这个方程，可以得到能谱

(6)

同时可以推导出波函数

(7)

当n=0,1,2,3,…时，fn(t)分别取

f0(t)=1,

f1(t)=t,

…

其中

2 光整流系数

在得到能量及其相应的波函数后，用密度矩阵法和迭代程序计算出非线性光整流系数，可以假设系统受到一个电磁场的激励，该电磁场表示为

密度矩阵算符ρ的演化遵循以下随时间变化的薛定谔方程：

(8)

其中ρ(0)表示未扰动的密度矩阵算符，H0表示没受电磁场影响的系统哈密顿量，Γij表示弛豫速率.

(8)可以通过以下迭代方法计算[12]：

(9)

(10)

由E(t)引起的量子阱的极化可以表示为

(11)

(12)

其中V表示相互作用体积，Tr表示矩阵的迹(主对角元素之和).通过使用密度矩阵法和迭代程序，得到单位体积的OR系数

(13)

3 结果与讨论

对正切平方量子阱的光整流系数做如下系统分析.主要探讨流体静压、温度、QWs的直径d以及限制势能U对OR系数的影响.计算中所采用的参数如下[13-14]：σv=5×1024m-3，T1=1 ps，T2=0.2 ps，ε0=8.85×10-12fm-1.

图1显示了流体静压P对正切平方量子阱光整流系数的影响.取U=40 meV，T=200 K，d=22 nm,做出了在不同流体静压作用下OR系数随入射光子能量的变化曲线，P=0，1，2 GPa.可以看出：随着P的增加，OR系数共振峰向低能方向移动，即发生红移，由(3),(4)可知,随着施加压力的增加，电子有效质量m(P,T)*增大,因此，光子能量随着流体静压的增加而向低能方向移动，可以通过调整参数来获得期望的跃迁能量.

图1 P=0，1，2 GPa时，光整流系数随入射光子能量的变化曲线Fig.1 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Hydrostatic Pressure,P=0,1,2 GPa

图2显示了直径d对正切平方量子阱光整流系数的影响.取U=40 meV，P=1 GPa，T=200 K,做出了在不同直径时OR系数随入射光子能量的变化曲线，d=21，22，23 nm.可以看出：随着d的增加，OR系数共振峰向低能方向移动，即发生红移，这是量子受限效应的结果.由(2)可知，随着QWs直径的增加，限制电位V(z)减小，进而量子受限效应减弱，量子阱中受限电子的能级间距减小，因此OR系数共振峰向低能方向移动，即发生红移.同时由图2可见,OR系数的峰值随直径的增加而增大，这是因为矩阵元素μij随着d的增大而增加.这种特性的物理原因是波函数的重叠程度随着d的增大而增加.

图2 d=21，22，23 nm时，光整流系数随入射光子能量的变化曲线Fig.2 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Diameter,d=21，22，23 nm

图3显示了温度T对正切平方量子阱光整流系数的影响.取U=40 meV，P=1 GPa，d=22 nm,做出了在不同温度下OR系数随入射光子能量的变化曲线，T=0，200，400 K.由图3可以看出：随着T的增加，OR系数共振峰向高能方向移动，即发生蓝移，由(3),(4)可知,这是由于随着温度的升高，电子有效质量m(P,T)*减小，随后第一和第二态能量之间的间隔增大.因此，光子能量随着温度的升高向高能方向移动.

图3 T=0，200，400 K时，光整流系数 随入射光子能量的变化曲线Fig.3 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Temperature,T=0，200，400 K

图4显示了限制势能U对正切平方量子阱光整流系数的影响.取d=22 nm，P=1 GPa，T=200 K,做出了在不同限制势能下OR系数随入射光子能量的变化曲线，U=30，40，50 meV.由图4可以看出：随着U的增加，OR系数共振峰向高能方向移动，即发生蓝移，这是量子受限效应的结果.由(2)可知，随着量子阱限制势能的增加，限制电位V(z)增大，进而量子受限效应增强，量子阱中受限电子的能级间距增大，因此OR系数共振峰向高能方向移动，即发生蓝移.同时由图4可以看出，OR系数的峰值随着限制势能的增加而减小，这是因为矩阵元素μij随着U的增大而减小，使得OR系数的峰值减小.

图4 U=30，40，50 meV时，光整流系数随入射光子能量的变化曲线Fig.4 OR Coefficient as a Function of the Photon Energy for Three Different Confining Potential Energy,U=30，40，50 meV

4 结 论

通过求解薛定谔方程得到了本征函数和能级，然后使用密度矩阵理论和迭代方法推导出了正切平方量子阱的光整流系数解析表达式.数值计算表明，OR系数的峰值随着直径的增大而增大，但随着限制势能的增加而减小.此外,流体静压以及QWs直径的增加使OR系数共振峰向低能方向移动，且随着温度的升高及限制势能的增加，OR系数共振峰向高能方向移动.最后，希望此研究成果能为非线性光学领域的改进和新型电子光学器件的开发提供理论基础.