进阶视域下空间观念的培养策略——以“图形的旋转”教学为例

■福建省龙岩市永定区实验小学 曾秀珍

数学课程标准（2011版）把空间观念的培养列为十大核心概念之一，并指出空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。小学生的空间观念主要表现在对所学几何形体的原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起“刺激——反应（联想）——抽象”。从心理学的视角看，空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力四者之间是相互联系、密不可分的，呈递进式发展；空间表象是在空间知觉的基础上建立的，空间想象是空间表象的发展；空间表象作为一种信息表征，起着承前启后的作用。小学阶段是空间观念发展的重要时期。怎样培养和发展学生的空间观念，笔者结合“图形的旋转”教学从学习进阶视域下谈几点感受。

一、视觉直观与思考相结合，从空间知觉进阶到空间表象

空间知觉是指关于物体或图形的形状、大小及距离、方位及相互位置关系的知觉。在大量空间知觉的基础上，形成的关于物体或图形的形状、大小及相互位置关系的印象就是空间表象。荷兰学者范.希尔夫妇的几何发展理论指出，几何思维水平的发展是循序渐进的，只有掌握了低水平内容，才能达到高一级水平。观察和操作是发展空间观念的重要途径，培养小学生观察能力和空间观念是同步进行的。因此，在小学数学课堂教学中要加强学生视觉直观，引导学生从观察入手，通过视觉感官逐步建立表象概念，引导学生在比较中辨析图形的异同；在运动变化中观察图形，在各种情境中识别图形的特征、位置、变化和互相关系等。如，“旋转”隶属于“图形的运动”，纵观人教版的教材，有关“图形的旋转”的知识，在义务教育阶段分三个学段来学习，在第一学段编排《图形的运动（一）》，通过实例让学生初步感知图形的旋转，在初步感受生活中的旋转现象时，教材提供许多生活中的旋转教材，而这些素材都是生活中旋转一周的旋转现象。第二学段五年级下册第五单元进一步探索图形旋转的特征和性质，当学生再次学习“图形的旋转”时，对学生进行课前测试，发现许多学生因为受前面学习因素的干扰，大都认为只有旋转一周的现象才是旋转，而人教版五年级下册的教材提供的旋转素材大多是旋转90度的现象。根据学生的年龄特征，第三学段学生的思维能力逐渐从直观、形象思维向抽象思维过渡，但还是以直观形象思维为主，为了让学生正确地建立旋转的概念，课堂上除提供钟面、自行车，还特意设计钟摆、道闸这些生活中常见的旋转学习素材。这两种物体的旋转方向是变化的，旋转角度都没有达到360度，学生在此类丰富的学习素材中通过回忆、观察、判断等思维活动，在对比中初步认识到旋转方向、旋转角度都可以任意设定，拓展了学生对旋转的认知。学生通过观察、对比、辨析，对接收到的外部刺激进行逐步内化抽象，为形成概念的表象和空间表象奠定基础，实现从空间知觉到空间表象的完美进阶。

二、动作直观与想象相结合，从空间表象进阶到空间想象

心理学认为想象是为人对头脑中已有表象进行改造的过程，而空间想象是以现实世界为背景,对头脑中已有的几何表象进行加工、改造的过程。在小学数学学习中，空间表象是空间观念最主要的表征形态，表现在学生从不同角度观察物体的想象力，来源于对现实原型的丰富感知和对活动的深刻体验。空间想象不仅是实物形状与几何图形的转换，还是几何体与展开图、三视图之间的转换。在小学数学学习中，动手操作和想象相结合是从空间表象进阶到空间想象的有力支撑。动手探究是培养学生空间想象力的一个行之有效的教学策略，特别是到了高年级，探究性学习活动更能使数学学习焕发活力，教师要精心创设情境，引发学生认知冲突，激发学生探究欲望，再适时给学生提供探究材料，引导学生通过观察、实验、讨论等活动中进行发现、检验和证明。

（一）动手操作中丰富空间表象

皮亚杰曾说，空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须动手做的过程。心理研究证明，视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的建立和巩固。学生对旋转的认识，并不是从概念中获得的，而是对相关具体情境的感悟、在动手实践与操作的体验中获得的。因此，在教学中，教师要创设有价值的情境活动和操作活动，鼓励学生观察操作、分析、表达,使学生在动作直观中获得丰富的感性认识,并为学生留下充分想象的时间和空间，引导学生在观察实物进行想象，在动手操作进行想象，通过直观图进行想象，根据语言描述进行想象。

学生在第一学段对旋转有了初步认识，第二学段的将继续认识旋转的特征，明确旋转的本质，并能在操作中对旋转有进阶认识。从人教版有关“图形的旋转”的知识编排看，五年级进一步探索图形旋转这一内容起着承上启下的重要作用，既要关注新旧知识的联结点，用原有知识推动新知识的学习，又要为第三学段的学习打下坚实的基础。因此，五年级学习“图形的旋转”的重点是通过多种活动理解旋转的含感悟旋转的特征和性质。结合进阶学习理论，在教学时不仅要关注感知层面的设计，更要注重操作层面的逐层递进设计。

课始利用思维导图回顾平移、轴对称的基本特征后，教师设计问题串，进行追问：生活中有哪些旋转的现象？旋转和平移、轴对称图形的运动有联系吗？

在探索图形线段的旋转的特征时，教师设计以下两个活动：

活动1：用语言辨析描述车杆的运动，让学生明白旋转运动不一定要一圈又一圈地绕，只要是绕着一个点朝着某个方向转动一定角度，这样的运动都是旋转。学生用语言描述的过程，理解概念的本质属性。

活动2：思考线段旋转的因素。

教师：要想开启智慧之门，必须画出线段0A旋转90度后的位置，想想看，线段0A旋转90度后的位置在哪里？你能画出线段0A旋转90度后的位置吗？

学生动手操作后同桌交流，再全班交流各种不同的旋转方法。教师引导学生质疑：都是旋转90度，为什么有多种情况？这几种情况到底哪种才能打开智慧之门？要补充什么信息？学生：只有旋转的角度还不够，需要补充中心点和方向。教师：（课件演示：线段OA绕点O逆时针旋转90度）现在补完整信息了，你能想象它是怎样旋转的吗？为什么？

学生在认真观察、积极思考、大胆猜测、激烈讨论、动手操作验证中，把想象与操作验证相结合。学生先把图形的旋转过程用数学语言描述，初步体会旋转的基本要素；教师再引导学生利用多种感官协同操作，通过想象、反思将操作活动慢慢地内化为心理操作，只有给足旋转的三要素，才能确定旋转的位置，从而明白旋转运动的概念本质。教师通过创设问题串引导学生观察、思考、猜测、想象、操作和验证，把动作直观和想象相结合，逐渐挖掘出概念的本质、属性，让概念在头脑中逐步完善，实现从空间表象到空间想象的进阶。

（二）运动变换中发展空间想象

图形的平移、旋转、对称现象是图形变换的基本形式。图形的变换是研究几何问题的有效工具，它将运动观点引入几何教学中，使静止的图形动起来，有助于学生用数学眼光观察世界，从运动变化的角度认识事物，了解图形之间的联系，从而发展学生的空间观念和几何直观，同时有利于学生对图形美的感受和欣赏。数学课程标准（2011版）中关于“图形的旋转”，第一学段要求结合实例，感知旋转，第二学段指出通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的旋转，会在方格纸上将简单图形旋转90°，能够从旋转的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。两个学段的目标呈螺旋上升的递进。因此，在教学中，教师要选取生活中的典型例子，让学生在运动变换中感知旋转。如二年级学习“图形的运动（一）”时，教师可以先让学生观察生活中平移和旋转现象，帮助学生积累这方面的经验。通过观察初步理解平移与旋转的特点后，运用感知的经验，判断日常生活中物体运动的平移和旋转现象，说一说生活中平移与旋转的具体实例，感受平移与旋转现象的普遍性。在学生初步感受到什么是“旋转”和“平移”后，请学生闭睛静静地想一想什么是平移、什么是旋转，让学生站起身来用肢体动作表示平移与旋转的动作。在活动中学生进一步体会平移与旋转的特点。让学生静静地想一想，把“空白”留给学生，让其对概念进行重新诠释和再次解读，对学生沉淀知识和发展空间想象力起着至关重要的作用。有了“空白”，不同的学生会用不同的生活经验、不同的思维方式进行想象，学生的个性体验有了呈现、发展的舞台，各种情感体验在一起碰撞、交流，容易激发学生的空间想象和创造性思维。

三、动态想象与推理相结合，从空间想象进阶到空间能力

空间能力是以空间形式为主要对象，以空间知觉、空间表象和空间想象为主要心理活动，在头脑中进行几何抽象、分析与综合、判断与推理的思维能力。空间能力主要是特定领域内的思维能力，它是“图形与几何”领域的核心，除了包括对信息进行加工的空间思维，还包含解决信息输出的空间问题。在“图形与几何”的教学中，应重视从学生的实际出发，创设能承转知识的问题情境，使学生在经历观察、操作、想象、推理等学习活动，在“动态想象”中发展空间能力。如教学二年级下册《图形的旋转》，教师可以选择孩子喜欢和常见的卡通图、风车、抽屉等素材，通过列举生活中的例子，引导学生分析比较、动手操作、想象验证等，对图形的旋转进行生动而丰富的数学挖掘。为了进一步提高学生对平移和旋转概念的理解，在教学中还可以引导学生进行“动态想象”，采用让学生先猜想，再交流，最后进行操作，将“观察”与“思考”相结合，提高学生空间想象力进阶到空间能力的水平，促进学生数学思维的发展。

教师可以拿出一支削过的铅笔问学生：“闭眼想一想，旋转这支铅笔有几种可能？”

教师给学生足够的思考时间和空间，引导学生闭眼进行“动态想象”，这种想象不仅包含着图形的变化，更加蕴涵着一种数学思考。然后在“动态想象”的基础上再引导学生与同桌合作做不同的旋转活动，通过动手操作将想象活动进行内化，再让学生把刚才操作时的发现画在纸上，得到多种旋转的方法：

通过动态想象、动手操作、画图内化实现思维的创新，发展学生的空间能力。由于学生的旋转只停留在垂直面上的旋转，这时教师再追问，适时引导：“老师也画了一种旋转活动，猜猜会是怎么样的？”通过把铅笔在垂直面上的旋转拓宽到水平面上的旋转，为“动态想象”创造了更大的空间和载体，再引导学生通过再次思考、想象、操作、交流，在“动态想象”中学会从不同的角度思考问题，从而真正发展学生的空间能力。

又如，五年级教学《图形的旋转》时，在第一阶段学习线段的旋转，引导学生发现线段旋转可以借助轴对称和平移的方法找相对应的点进行旋转。学生在第二阶段学习三角形的旋转时想象到可以找相对应的点进行旋转。设置一系列问题，观察旋转后的图形，什么变了，什么没变，你能借助前面学习的平移进行思考等串引领学生展开想象的翅膀，实现同领域知识的链接。教师问：“为什么图形的旋转可以与轴对称、平移通用？”让学生发现原来图形的运动之间都是有联系的，画图形的运动方法是通用的，都是找相对应的点或边。最后再追问“继续像刚才那样，每次绕着O点顺时针旋转90度，会形成什么图形？”通过找到知识的前因后果，以结构化的思想引领学生的学习逐步深入，达到思维“线”上的串通，实现学习进阶。

空间观念作为创新精神所需要的基本要素，在认识图形的教学过程，教师可以借助变换，动态直观地刻画图形的特征，如通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地呈现各种平面图形和立体图形所隐含的特征。在平面图形和立体图形的面积与体积公式的推导过程中，也应注重从运动的角度理解、测量，如在三角形、平行四边形、梯形、圆形的面积公式推导过程中，采用剪拼、割补多种策略推导，这实质也是图形的变换。在教学过程中，教师还可借助多媒体教学手段将静态物体动态化，实现静态物体的动态化，帮助学生建立空间观念，培养学生的几何直观。

综上所述，小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。教师要研读教材，把握学习重点；读懂学生，了解学习起点；读懂学习，设计学习任务，为学生提供学习的脚手架，引导学生在观察中加强实物与图形的转换，丰富空间知觉，引领学生在比较中辨析，逐步向空间表象的进阶；在动手操作中与运动变换中进行想象，丰富学生的空间表象，实现从空间表象到空间想象的进阶；还要把动态想象与推理相结合，在经历观察、操作、想象、推理等学习活动中进行“动态想象”，发展学生的空间观念。