解答高考数学选择题的常用“四法”

钟菊

摘要：选择题的解题技巧就是要充分利用选项提供的信息，发挥选项的作用，突出一个“选”字，尽量减少书写，在对照选项的同时，多方面考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择，简捷作答.

关键词：直接法;排除法;数形结合法;验证法

1 引言

高考数学中的选择题具有概括性、综合性、深度性等特点，在整套试题中数量多、占分比例高.这类题型由于涉及的知识面广，又小巧灵活，便于考查，深受命题人的喜爱，成为每年高考的必考题型.在高考中，考生要在有限的时间内快速、准确地完成选择题，除了要具备扎实的数学基础知识外，还需要考生熟练掌握一些临场解题的方法和技巧[1].

2 解答选择题的四种常用方法

解答选择题的思路，源于选择题与常规题的联系和区别.一方面，它在某种程度上还保留着常规题的某些痕迹;另一方面，选择题在结构上具有独特的特点，例如至少有一个答案（单项选择题）是正确的或合适的.因此，我们可以充分利用题目提供的信息，排除迷惑项的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支.选择题中的错误支也具有两重性，它既有干扰的一面，也有可利用的一面[2].因此，只要我们结合下列四种方法认真观察、用心思考、仔细辨析，就能够透过伪装看清本质，去伪存真，迅速作出判断.

2.1 直接法

对涉及概念、性质的辨析，公式的应用或运算等较简单的题目，从题目的已知条件出发，运用有关的性质、定义、定理、公式等，经过推理和计算，就能快速得出正确的结论，然后对照题中的选项进行筛选、判断，这就是直接法.

例1（2022年全国乙卷理科第3题）

已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，|a-2b|=3，则a·b=（  ）.

A.-2   B.-1   C.1   D.2

解：由|a-2b|2=|a|2-4a·b+4b2，

且|a|=1，|b|=3，|a-2b|=3，

得9=1-4a·b+4×3=13-4a·b.解得

a·b=1 .

故答案选：C.

思路与方法：根据给定模长，利用向量的数量积运算公式直接求解，将结果与选项比对即可.

2.2 排除法

对于选择题，当从正面不易选出正确选项时，可以从反面考虑：因为选择题的正确答案已在选择支中列出，只要逐一考虑，排除其中不正确的选择支，则剩下的就是正确的答案.运用排除法应遵循先易后难，由少到多，去伪存真，综合判断.首先剔除掉干扰支中容易淘汰的选项，然后根据题干中的部分条件淘汰选择支，再根据单项选择答案的唯一性进行排除，最后再结合题意，通过辨析选择支中相反、互不相容、包含等关系进行判定.

例2（2022年北京卷第4题）己知函数f（x）=11+2x，则对任意实数x，有（  ）.

A.f（-x）+f（x）=0   B.f（-x）-f（x）=0

C.f（-x）+f（x）=1

D.f（-x）-f（x）=13

解：f（-x）+f（x）=11+2-x+11+2x=2x1+2x+11+2x=1.故A选项错误，排除;C选项正确.

f（-x）-f（x）=11+2-x-11+2x=2x1+2x-11+2x=2x-12x+1=1-22x+1，不是常数，所以排除B，D两选项.

故答案选：C.

思路与方法：解答本题可将选项代入计算，然后对照结果逐项进行排除.

2.3 数形结合法

在求解三角函数图象、解三角形、立体几何、解析几何等问题时，虽然画出图形有时不一定能直接解决问题，但是结合图形，便于分析、寻找数量关系，“以形助数”能够帮助我们快速对选项作出甄别判断.

例3（2022年全国新高考Ⅰ卷第9题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（  ）.

A.直线BC1与DA1所成的角为90°

B.直线BC1与CA1所成的角为90°

C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

解：如图1，连接B1C，BC1.因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角.因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1.故直线BC1与DA1所成的角为90°.故A选项正确.

连接A1C.因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.

又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1C.又A1C平面A1B1C，所以BC1⊥CA1.故B选项正确.

连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连接BO.

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B.因为C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B=B1，所以C1O⊥平面BB1D1D.所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.

设正方体棱长为1，则C1O=22，BC1=2，sin∠C1BO=C1OBC1=12.所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°.故C选项错误.

因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.易得∠C1BC=

45°，故D选项正确.

综上，答案选：ABD.

思路与方法：本题涉及到直线与直线、直线与平面的角度等问题，可以运用数形结合法，通过作出辅助线，“以形助数”，依次对所给选项进行比对辨析即可.

2.4 验证法

所谓验证法，就是将各选择支或特值逐一代入题干进行验证，看是否适合，然后确定符合要求的选择支.当题干提供的信息太少，或者结论是一些具体的数字时，采用这种方法比较简捷.

例4（2022年北京卷第5题）已知函数f（x）=cos2x-sin2x，则（  ）.

A.f（x）在-π2，-π6上单调递减

B.f（x）在-π4，π12上单调递增

C.f（x）在0，π3上单调递减

D.f（x）在π4，7π12上单调递增

解：fx=cos2x-sin2x=cos 2x.

①验证A选项：当-π2

②验证B选项：当-π4

③验证C选项：当0

④验证D选项：当π4

故答案选：C.

思路与方法：首先化简f（x），可得出fx=cos 2x，然后利用余弦型函数的单调性，对所给选项逐项进行验证排除，即可判断出合适的选项.这种方法简捷省时，准确率较高.

3 结论

选择题不同于计算题和应用题，它的结构特殊，不要求书写解题过程，解答方式也没有固定模式，具有极大的灵活性.当然，没有固定的模式并不等于就没有相应的解题方法，比如上述介绍的这四种方法就是解答高考数学选择题最常用、最有效的方法.

参考文献：

[1]白雪峰.高考数学选择题解法[J].中学生数学，2007（17）：10-11.

[2]谭光勇.高考数学选择题解法探析[J].数学学习与研究，2010（13）：82，84.