例谈目标函数法解答圆锥曲线最值问题的策略

高宗杰

与圆锥曲线相关的最值问题是高中数学常见的综合性问题，构建目标函数求解圆锥曲线最值问题，是常见的解题方法之一，也是学生应该掌握的解题策略.笔者从不同例题的不同目标函数构建形式入手分析，分别阐述圆锥曲线最值问题求解的策略.

1 构建分式函数

当根据问题条件构建的函数解析式为分式函数形式时，应转化为“x+ax”的相似形式，进而运用均值不等式x+ax≥2x·ax=2a（x>0，a>0）解相关最值.解答问题时，首先假设与问题相关的变量，进而得到与之类似的分式函数解析式，运用均值不等式得到问题答案.

例1 已知椭圆标准方程为x24+y2=1，若矩形ABCD四边均与椭圆相切，则该矩形面积的最值为.

解：①当矩形的一边与坐标轴平行时，可知矩形面积S=8.

②当矩形的一边不与坐标轴平行时，由矩形和椭圆的对称性，设其中一边所在直线的方程为y=kx+m，则其对边直线方程为y=kx-m.

由y=kx+m，x2+4y2=4消去y并整理，得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0.由题意可得Δ=0，即4k2+1=m2，则这两条平行线的距离d1=2m1+k2.

设另外两边所在直线的方程分别为y=-1kx+n，y=-1kx-n.

同理可得4k2+1=n2，则这两条平行线的距离d2=2n1+1k2.

所以，矩形面积S=d1d2=2m1+k2·2n1+1k2=4×9k2+1k2+2+4.

因为k2+1k2≥2k2·1k2=2，当且仅当k2=1即k=±1时等号成立，所以

S=4×9k2+1k2+2∈8，10.

综上所述，矩形面积的最大值为10，最小值为8.

2 构建二次函数

当构建的目标函数变或形如“ax2+bx+c”的形式时，则可以看成二次函数求最值进而解答.在求解过程中，首先用假设的变量表达所求问题，得到形如ax2+bx+c的表达式后变形为ax+b2a2+4ac-b24a，然后在变量的范围内求出最值.下面结合案例介绍具体解题思路和步骤.

例2 已知椭圆T：x24+y2=1，若过点M（0，1）有两条互相垂直的直线l1，l2，P为椭圆上的任意一点，记点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则d21+d22的最大值为.

解：①若直线l1，l2中一条直线的斜率为0，不妨设直线l1的方程为x=0，则直线l2的方程为y=1.设P（x，y），则d21+d22=x2+1-y2.

由点P在椭圆x24+y2=1上，得x2=4-4y2.

所以d21+d22=5-2y-3y2=-3y+132+163，y∈-1，1.

故当y=-13时，d21+d22有最大值163，即d21+d22的最大值为433.

②若直线l1，l2斜率存在，且不为0，设直线l1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0，则直线l2的方程y=-1kx+1，即x+ky-k=0.

则d1=kx-y+11+k2，d2=x+ky-k1+k2.

所以d21+d22=kx-y+12+x+ky-k21+k2=x2+y2-2y+1

=5-4y2+y2-2y=5-3y2-2y=-3y+132+163，y∈-1，1.

故当y=-13时，d21+d22有最大值163，即d21+d22的最大值为433.

综上所述，所求最大值为433.

点评：建立二次函数求解圆锥曲线的最值问题是比较常见的解题策略，将含有假设变量的表达式变形为ax+b2a2+4ac-b24a的形式后，根据变量取值范围找到最值.可引申得到推广例题.

推广 已知P为抛物线y2=4x上的一点，Q为圆x-62+y2=1上的一点，则PQ的最小值为.

分析：设点P坐标为14m2，m.由

圆x-62+y2=1的圆心为A6，0，

得

PA2=14m2-62+m2=116m2-162+20≥20.

所以PA≥25.故PQ的最小值为25-1.

3 构建三角函数

当假设变量为角度时，构建的目标函数为三角函数，根据三角函数的有界性找到所求最值即可.解题时，首先找到需要假设的角度，其次表达所求问题，根据辅助角公式转化为Asinωx+φ+B的形式，从而求得最值.具体解题步骤和思路如例3所示.

例3 已知椭圆C：x2a2+x2b2=1a>b>0，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠FAB=α，α∈π12，π3，则此时椭圆离心率的最值为.

解：设椭圆的另一焦点为F′，连接AF′，BF′，BF，如图1所示.四边形AFBF′为矩形，可得AB=FF′=2c，FA=2c·cos α，FB=2c·sin α.

由椭圆定义，可得

FA+AF′=FA+FB=2a.

所以2c·cos α+2c·sin α=2a.

因此，离心率

e=ca=1sin α+cos α=12sinα+π4.

又α∈π12，π3，

所以

2sinα+π4∈22，63.

所以椭圆离心率最大值为63，最小值为22.

点评：当问题中未提及角度变量时，可以根据已知条件特征假设相关角θ，也可以用sin θ或cos θ表示相关点的坐标，进而用sin θ或cos θ表示所求的值，从而通过角θ的范围，求得最解.如以下推广例题，构建三角函数求问题的最值.

推广 已知点Q在椭圆C：x28+x24=1上运动，过点Q作圆x-12+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为.

分析：圆x-12+y2=1的圆心C1，0，半径r为1.如图2所示，连接QC，交AB于点H，可得H是线段AB的中点，且AB⊥QC.

连接AC，BC，可得AC⊥QA，BC⊥QB，且QA=QB=QC2-1，AB=2AH=2QA·ACQC=21-1QC2.

设Q22cos θ，2sin θ，θ∈0，2π，

则QC2=22cos θ-12+2sin θ2=4cos θ-222+3，

当cos θ=22时，QC2取得最小值3.

所以，AB的最小值为21-13=263.

通过上述不同解题策略的介绍，不难发现构建目标函数求圆锥曲线的最值问题大致分为三种思路，其中三角函数、二次函数以及分式函数的构建都能够有效求解问题.通过对这些解题思路的分析探究，启示学生应该善于从试题中发现规律、总结解法，只有养成良好的学习习惯，才能收获更多的积累.