转化策略在解题中的应用

王文锡

摘要：转化是指将一个问题转化为另一个问题的思考方法，运用转化策略能够在解题过程中将一些复杂的、陌生的问题转化为学生熟悉的、已知的问题，从而更方便揭示问题的本质，达到解决问题的最终目的.转化策略在中考数学试题中应用极为频繁，转化方法也多种多样.本文中以中考试题为例，从一般与特殊的转换、数形转化、抽象与具体的转化等方面分析转化策略在中考解题中的应用.

关键词：中考;数形转化;整体与部分转化;应用

1 一般与特殊的转化

一般与特殊相互之间的转化，主要是指通过一般规律求个例特殊问题以及列举特殊例子对一般性问题进行解答[1].如特殊图形求解，可通过填补或分割将其转化为常见的一般图形，进而根据公式解答.掌握这种转化策略，有助于提升解题的效率.

例1 已知半圆的直径AB=12 cm，点C，D是这个半圆的三等分点，求弦AC，AD和弧CD围成的阴影部分面积.（结果用π表示.）

分析：如图1，因为阴影部分对应的是不规则图形，因此无法直接求解其面积.题目中提到了三等分点，连接OC，OD，因为点C，D是这个半圆的三等分点，故弧AC，CD，DB均为60°.

解：∵∠ADC=∠DAB，

∴AB∥CD.

∴S△ACD=S△OCD.

又∵∠COD=60°，

∴S阴影=S三角形OCD=60×π×36360=6π（cm2）.

2 数形转化

数形转化求解问题较为常见，是指把具体的代数问题转化为图形问题进而解答，或将图形等价转变为具体的代数问题求解.这种转化求解思路可以体现在数轴、函数图象、几何图形等不同方面，需要重点学习和关注.

例2 若a+b<0，a<0，b>0，试判断a，-a，b，-b的大小关系.

分析：与大小关系有关的问题，往往可以借助数轴这一几何图形就能够直观地把字母a，-a，b，-b表示出来.

解：如图2所示，a，-a，b，-b的大小关系是a<-b

例3 代数式 x2+4+ x2-24x+153的最小值是.

解：由原式，可得 x2+22+ （12-x）2+32.

构造如图3所示的图形，

AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，

且AC=2，BD=3.

设PA=x，

则PB=12-x.

所以PC= x2+22，

PD= （12-x）2+32.

显然，点C关于AB的对称点E与点D的连线和AB的交点P即为符合条件的点.

过点E作DB的垂线交DB的延长线于点F，则

PC+PD=PE+PD=DE

= EF2+DF2

= 122+（3+2）2

=13.

故所求的最小值为13.

3 抽象与具体的转化

抽象与具体的转化策略主要指通过类比、举例把抽象的概念和问题具体化，从而转化为已知熟悉的内容进行解答[2].如求线段旋转后的轨迹，可类比圆弧得到具体的公式，即可进行下一步解答.抽象与具体转化的策略，对解答一些定义题或几何问题有一定的帮助.

例4 如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，a>b.若EF∥AB，EF到CD与AB的的距离比为m∶n，则可推出EF=ma+nbm+n，尝试运用类比的方法推想出下列问题的结果，在上面的梯形ABCD中延长梯形的两腰AD，BC交于点O，设△OAB，△OCD的面积为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系为（  ）.

A.S0=mS1+nS2m+n

B.S0=nS1+mS2m+n

C. S0=m S1+n S2m+n

D. S0=n S1+m S2m+n

解：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，结合类比结论EF=ma+nbm+n，可以得出这道题的正确答案为选项C.

例5 如图5，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2和 2，对角线BD，FH都在直线l上，O1，O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距.当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移过程中，正方形EFGH的形状和大小不改变.随着中心O2在直线l上的平移，试问：两个正方形的公共点的个数有哪些变化？并求出相应的中心距的值或取值范围.

分析：这道题很容易与两圆的位置关系相联系，圆与圆之间的位置关系包括外离、外切、内切、内含等情况，类比正方形也存在这些位置关系，进一步分情况分别求解即可.

解：

O1D=2，O2F=1，O1O2≥0.

联系两圆的位置关系容易得出：

当1

当O1O2=3时，有一个公共点;

当O1O2=1或2时，有无数个公共点;

当O1O2>3或0≤O1O2<1时，没有公共点.

4 整体与部分的转化

整体与部分的转化策略是指把问题所求看作一个整体或部分个体，使其问题得到简单化从而解答.如扇形面积求解可看作一个圆的部分，根据占据圆的比例即可求出对应面积大小.这种解题策略，能使陌生未知的问题转化为已知熟悉的内容，应让学生重视.

例6 如图6，圆A、圆B、圆C三个圆两两相交，并且半径都是0.5 cm，则图中阴影部分面积为（  ）.

A.π12 cm2

B.π8 cm2

C.π6 cm2

D.π4 cm2

解：虽然无法单独求出每一个阴影部分的面积，但通过观察可以发现三角形的内角和为180°.三个扇形的圆心角加起来刚好是180°，又因为三个圆的半径都相等，因此三个扇形面积之和可以转化为求一个半圆的面积.

因此，阴影部分的面积S=12×π×0.52=π8（cm2）.

故选答案：B.

5 结语

总而言之，转化策略对学生学习质量与能力的提升有着重要帮助，教师应当重视多种教学方法的运用以帮助学生理解并牢固掌握转化策略的应用，使学生能够灵活地应用转化策略解决各种数学问题，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，达到大幅提高学习效果的最终目的.

参考文献：

[1]崔亚澜.转化思想在数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2021（23）：24-25.

[2]莫大勇，孟祥静.从关联入手，以转化搭桥，解决图形性质问题——2015年中考数学试题“图形的性质”专题解题评析[J].中国数学教育，2016（Z1）：78-83.