圆与“影子”结合的问题类型及解析

袁金锋

摘要：“影子”问题频频出现在中考数学题中，成为了一个新的热点.本文中选择几例与圆有关的影子问题，并加以解析. 通过四种不同类型——光线切圆成影、光线切隐圆成影、光线切圆的组合体成影、部分影子在圆上的问题的解答，培养学生的学习兴趣，增强学生的应用意识，提高学生的数学素养.

关键词：光线与圆相切;影子问题;解答

1 引言

“影子”是一种常见的物理现象，当不透明的物体受到阳光或光线的照射时，就会产生影子.近年来，“影子问题”经常出现在各级各类考试中，成为命题的一个新热点.这类试题既贴近现实生活，又司空见惯，综合考查了学生的数学应用意识、创新精神和解决实际问题的能力.

2 光线切圆成影

例1 为了更好地学好数学，老师带领学生到操场上进行数学活动.将一个圆形球体放在平整的水平地面上，在充足阳光的斜射下，得到球在阳光下的影子，

同学们绘制出图1所示的图形，其中AB为球体在地面上的影子，平行光线CB，DA与球体相切，切点分别为H，G，经测量球在地面的影子AB=52.5 cm，光线与地面的夹角为45°，能否求出球体的直径（精确到1 cm）？

分析：首先理解题意是解题的基础，“平行光线CB，DA与球体相切，切点为H，G”，可知HG为球的直径，也是圆的直径.另外确定点A落在何处，是成功解题的关键. A点的位置不是圆O与地面相切的切点，而是DG的延长线与地面的交点.可通过构造直角三角形，将所求线段转换到直角三角形中进行计算.

解：如图2，过点A作AE⊥CB于点E.

因为DA，CB分别与圆相切于点G，H，

所以GH的长为圆的直径.

由圆切线的性质，可知GH⊥GA，GH⊥HE.

于是四边形AEHG是矩形.

所以，AE=GH.

在Rt△ABE中，

AB=52.5，∠ABG=45°，

所以AE=AB＼5sin∠ABE=52.5×sin 45°

≈ 37（cm）.

所以球的直径是37 cm.

点评：体会现实生活中的实际问题，用数学的眼光去观察生活，体会生活，运用数学知识去解释、分析、解决实际问题，是数学服务生活的鲜明特征与宗旨.观察生活，体会生活，还原生活是解决实际问题的依据和法宝.在教师的指导下开展数学活动无疑是很好的教学形式，具有广泛的指导意义.

3 光线切隐圆成影

例2 在一次数学兴趣小组活动中，利用树影测树高.已知测出某一时刻太阳光线与地面成30°角，又测出树OB的影子OA为24 m.

（1）求出树高OB;

（2）在一次天气异常大风大雨的情况下，大树OB沿太阳光线方向倒下，在大树倾倒的过程中，树影的长度由随之发生了变化，试求树影落在地面上的最大长度.（假设太阳光与地面夹角保持不变，计算结果精确到整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.）

分析：第（1）问只需找出OA所在的直角三角形即可.第（2）问，实质是直线与圆相切的问题，即树在倒下的过程中形成一条以点O为圆心，OB的长为半径的圆弧，此时弧与太阳光线CD相切时影长最大.解题的关键在于根据实际生活背景转化为数学问题.

解：（1）如图3，太阳光线与地面成30°角，

则∠A=30°;大树与地面垂直，则∠AOC=90°.

在Rt△AOB中，大树的高度OB=OA· tan A=24×33=83≈13.856 52≈14（m）.

（2）大树从直立到倒下的这一过程，树顶B的运动路径是以点O为圆心，以OB的长为半径作圆弧，如图4，当太阳光线与圆弧相切时树影最长.

假设大树在倾斜倒下与平行光线相切时的切点为D，过点D作OC⊥OD交OA于C点.

由切线的性质得∠ODC=90°，

由平行光线得∠OCD=30°.

在Rt△OCD中，OC=2OD=2×14=28（m）.

答：树高AB约为14 m;树影有最长值，最长值约为28 m.

点评：在解题过程中，首先要了解问题的实际背景，明确事物的发生、发展过程，用动态思维把握实际问题.然后用数学语言抽象、简化，将生活中的实际问题转化为数学问题，再用所学数学知识与方法解决此数学问题，这时实际问题也就得以解决.

4 光线切圆的组合体成影

例3 某中学数学兴趣小组到学校风景广场开展数学活动，发现有一个立体模具，如图5，它由上下两部分组成，地面上的底座是一个正方体，正方体的正上方是一个规则的球型体，经师生共同测量，正方体的高度与球体的高度相同.此时，太阳光线与地面成60°夹角，太阳光线投射到模具上，在地面上形成的影子MN长2 m.求这个模具的高度（结果精确到0.01 m，参考数据：3≈1.732）.

分析：因为“球体的高度与正方体的高度相同”，且底座为正方体，所以圆的直径为正方形边长，整个模具的高度就是圆直径的两倍，运用相似的性质求解再根据直线与圆相切，得到直角三角形，从而得以求解.

解：因为球体的高度与正方体的高度相同，底座为正方体，所以圆的直径为正方形边长.

根据对称性知，正方形与圆的对称中心的连线垂直于地面，如图6.设点O为正方形的对称中心，点P为圆的圆心，连接OP并两向延长交MN，NQ的延长线于点E，F，易得EF⊥MN.

又知太阳光线在圆右侧相切，设切点为Q，连接PQ.

由切线的性质得PQ⊥NQ，设圆P的半径为r.

因为太阳光线与地面的夹角成60°，则∠F等于30°.又PQ=r，由30°角的直角三角形得PF=2PQ=2r.

根据对称性EM=r，

那么EF的长为正方形的高度加上圆的半径及PF的长，即EF=5r .

在Rt△EFN中，ENEF=13，又EN=EM+MN=r+2，所以r+25r=13，解得r=53+311.

所以模具高度h=4r243+1211≈4.24（m）.

点评：解决本题的关键在于将实际问题抽象、简化成数学问题，运用几何的基本图形、性质、定理，推理解答平面几何问题.正如《义务教育数学课程标准》强调：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历，将实际问题抽象成数学模型并解释和运用的过程，让学生在空间想象能力、思维能力等各方面得到进步和发展.”

5 部分影子在圆上

例4 某中学数学兴趣小组到户外开展数学活动，发现广场有一根旗杆AB和一规则的冬青圆球（冬青球和地面相切），在太阳光的照射下，如图7，旗杆的顶端A的影子恰好落在冬青球的最高处，而冬青球的影子刚好落在地面上一点E处，测得BO=16 m，OE=2.5 m，冬青球的直径为2 m，EF=2米. 求旗杆的高度.

分析：本题求旗杆AB的高度，将线段AB分成两段HB和AH，HB即为圆的半径长，但AH未知.根据圆的切线有垂直，过点G作GH⊥AB于H，发现有△AGH与△OEF相似，再根据相似三角形的对应边成比例即可解决. 本题有两个误区：（1）直接将BE当成AB的影子;（2）将线段OG的影子误认为是OE. 因此，仔细推敲影子的形成是解题关键.

解：如图8，根据题意，FE与半圆相切于点F，

连接OF，由切线的性质知∠OFE=90°.

又EF=2，OE=2.5，所以FO=OE2-EF2=1.5.

过点G作GH⊥AB于H，则四边形BOGH是矩形.

则BH=OG=2，BO=GH=16.

因为平行光线与水平面的夹角不变，则∠E=∠AGH.又∠OFE=∠AHG=90°，所以△AGH∽△OEF.

由相似三角形对应边成比例，得EFGH=OFAH，

即216=1.5AH，解得AH=12，AB=AH+HB=14.

故旗杆的高度为14 m.

说明：本题的另一种解法，根据实物与影子成比例作答：过点F作FM⊥OE于M（具体作图略），根据面积法求得FM=1.2，再求得EM=1.6，即实物与影子之比为FMEM=34.过点G作GH∥AB交AB于点H，则AHHG=34，又GH=OB=16，AH的影子是GH=16，那么AH=12，则AB=14.

6 总结

综上几例，可以发现，解决圆与“影子”相结合的一类问题的关键：根据题意，分析“影子”是由实物的哪一部分形成的，体会“影子”的形成规律，如何将实际问题抽象、转化为数学问题，清楚哪些是未知，要求什么;再运用直线与圆相切的性质或相似三角形的判定、性质等数学知识来推理解答.

在“双减”背景下，如何减负提效是广大教师共同研究的课题.对于数学解题教学，教师要精选习题.在某节课中，选择同一类型的有代表性的习题，层层递进，逐步展开.培养学生的数学运算、数学抽象和数学建模等核心素养，不断提升学生的思维品质.

参考文献：

[1]苗学军.中考中的“影子问题”[J].初中数学教与学，2005（10）：30-32.

[2]唐建清.“影子”例解浅说[J].考试周刊，2011（56）：80-81.

[3]姚珍.谈初中数学中的影子问题[J].数学之友，2011（6）：80-81.