选用合适的方法，提升求三角函数最值的效率

刘海燕

三角函数最值问题比较常见，但具有较强的综合 性，此类问题不仅考查三角函数的基本公式、图象、性 质，还考查求最值的方法.下面，笔者结合例题，介绍三 种求解三角函数最值问题的方法.

一、配方法

配方法常适用于求形如 y = a sin2 x + b sin x + c 或 y = a cos 2 x + b cos x + c（a，b，c均为常数） 的三角函数式的 最值.运用配方法求三角函数的最值，需将 sin x 或 cos x 视为自变量，将函数式看作二次函数，把函数式 配 方 为 y = a（sin x + b） 2 + c 或 y = a（ cos x + b） 2 + c 的 形 式，再根据二次函数和正余弦函数的性质求出三角函 数的最值.

例1

解：

该函数式中含有 sin x 、cos x ，且为二次式，于是 利用同角的三角函数关系 sin2 x + cos 2 x = 1 ，将函数式 中的函数名称统一，然后将函数式转化只含有 cos x 的二次函数式，再对其进行配方，便可根据二次函数 的性质求得函数的最值.

二、基本不等式法

基本不等式法是运用基本不等式：a + b ≥ 2 ab （a，b ∈ R? ）求最值的方法.运用基本不等式求最值需要 满足三个条件：（1）各项均为正值；（2）各项的和或积 为定值；（3）取等号时不等式一定成立.基本不等式法 主要适用于求几个式子的和或积的最值.

例2

解：

解答本题，需先从所求的目标函数出发，通过三 角恒等变换，配凑出两项之积，并使其和为定值，进而 运用基本不等式求得三角函数的最值.

三、化一法

化一法主要适用于求解函数式中同时含有 sin x 、 cos x 的三角函数最值问题.用化一法求三角函数的最 值，需先利用三角恒等变换技巧及辅助角公式把三角函 数式化为 y = A sin（ωx + ?）+t 或 y = A cos（ωx + ?）+t 的形 式，再利用正弦函数与余弦函数的图象与性质求最值.

例3

解：

将该函数式变形可得到同时含有 sin x 、cos x 的 三角函数式，于是采用化一法，利用辅助角公式，将函 数式化为只含有正弦函数的式子，便可根据正弦函数 的有界性和单调性求得最值.

三角函数最值问题的类型很多，涉及的知识面较 广，求解方法灵活多变，因此同学们要根据三角函数 式的结构特点，选择合适的方法和公式来求解.

（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）