谈谈求圆锥曲线离心率的几种措施

孙婷婷

求圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，侧重 于考查椭圆和双曲线的定义、几何性质、方程以及圆 锥曲线的离心率公式.解答此类问题，需要灵活运用方 程思想、数形结合思想.下面，笔者重点谈一谈求圆锥 曲线离心率的几种方法.

一、公式法

公式法是运用圆锥曲线的离心率公式 e = c a 来解 题的方法.运用公式法解题，往往要先求出 a、b、c 的 值，或建立有关 a、b、c 三者之间的式子，然后利用圆 锥曲线的离心率公式 e = c a 求出结果.

例1

解：

解答本题，需先根据题目所给的条件求得入射光 线的斜率及其直线方程；然后确定反射点与反射光线 所在的直线方程，得出焦点坐标与 a、b、c 的值；最后 利用圆锥曲线的离心率公式求出问题的答案.

二、定义法

定义法是运用圆锥曲线的定义来解题的方法.运 用此种方法求离心率，需熟知圆锥曲线的第一定义和 第二定义.根据第一定义，得出 a、b、c 之间的关系式； 根据第二定义，明确曲线上的点到准线的距离，就能 求出圆锥曲线的离心率.

例2

解：

由 | AF | 1 = 3| AF | 2 可聯想到双曲线的定义：动点到 两个焦点的距离之差为定值，即 | AF | 1 - | AF | 2 = 2a ，据 此建立关于a、c的关系式，即可求出双曲线的离心率.

三、齐次式法

齐次式法是通过构建齐次式来解题的方法.当难 以计算出 a、c 的值时，就可以根据已知条件和圆锥曲 线中a、b、c之间的关系构造关于 a、c 的齐次式，然后 通过解方程得出离心率 e 的值.

例3

解：

我们需先根据双曲线的方程和焦半径公式建立 关于 a、c 的齐次式，然后在其左右同除以 a2 ，得到关 于离心率 e 的一元二次方程，通过解方程，便可以求 得 e 的值.

在求解圆锥曲线的离心率问题时，同学们要注意 根据题目中所给的条件，利用圆锥曲线的方程、公式、 几何性质，建立关于 a、b、c 的关系式，灵活选用公式 法、定义法、齐次式法，快速求得问题的答案.

（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）