Z-number综合熵及其在多属性决策中的应用

王翠翠

安徽三联学院基础部，安徽合肥，230601

自然界和社会充满各种类型的不确定性信息，为刻画和分析这些不确定性信息，1965年，Zadeh[1]创新性地提出模糊集理论。此后，模糊集理论被不断拓展，先后演化出直觉模糊集[2]、犹豫模糊集[3]、二型模糊集[4]等多种形式。随着研究和应用的不断深入，单纯的模糊集理论已经无法满足人们更加精准地刻画复杂不确定性问题模糊性特征的需要。因此，2011年Zadeh[5]提出Z-number理论，Z-number可以将自然语言的客观信息和人类主观理解进行融合表达，不仅考虑了信息的模糊性，也对模糊信息的“可信赖”程度给予充分考查。可见，Z-number理论为描述和分析不确定信息，构建新型不确定多属性决策方法提供更加有益、便捷的分析工具。

Z-number概念提出以后，国内外学者对其进行了较为深入细致的研究。Aliev等[6-7]在模糊集截集概念的基础上，给出了Z-number的加、减、乘、除等基本算术运算，以及连续Z-number最大、最小、平方、平方根等常用代数运算，并基于线性规划和简单的最优化问题提出了一种权衡计算复杂度和精度的Z-number计算方法。Hong等[8]提出Z-number的优序关系并定义Z-number优势度的概念，通过ELECTRE III方法的偏好、无差异、否定三个阈值考虑准则之间的不可补偿性。Pirmuhammadi等[9]介绍Z-number的参数形式并定义其上的算术运算，为了解决Z-number参数形式的问题，提出广义的hukuhara积分、广义积分以及Z-number距离等概念，并证明了Z-number初值问题的相关性质。Kang等[10]利用期望方法将Z-number转化为一般模糊数。姚爱婷等[11]定义了Z-number的两种参数形式，并提出Z-number频谱。

对于Z-number不确定性的刻画是Z-number理论研究中非常重要的部分，本文综合考虑Z-number的不确定性来源，即模糊限制A的模糊性与可靠程度B的模糊性，以及可靠程度B的内在不确定性构建了Z-number的综合熵。在决策应用中，基于风险最小原则通过熵权法给出属性权重的求解方法。最后，结合复合效用函数建立一种新的Z-number决策模型，并给出了相应的计算方法。

1 基础概念

模糊集(Fuzzy Set)和模糊截集是模糊理论的基础性概念，尤其是三角模糊集和三角模糊截集的具体表达形式可以参见文献[1]。2011年Zadeh[5]在模糊集理论基础上提出Z-number理论，相关概念如下：

定义1[5]Z-number是由一对有序模糊数表示，即Z=(A,B)，其中第一个元素A是不确定变量X的实值函数，是对X在数值上的约束；第二个元素B是对第一个元素A可靠性的一种测度。

Zahed指出，B是对A在概率测度上的一种约束，即B实际上可表示为

(1)

其中，pX未知，是X的概率密度函数，μA是A的隶属函数，x∈X。

定义2[6-7]有序数对Z=(A,B)称为一个连续Z-number，其中A是一个连续型模糊数，是对变量X在数值上的一个模糊约束；B是一个隶属函数μB:[0,1]→[0,1]的连续型模糊数，是对A在概率测度上的模糊约束。

2 Z-number效用函数

为了度量不同模糊集之间的优势关系，这里基于Z-number提出效用函数的概念。

定义3设A是一个模糊集，ξ为区间[0,1]上的一个实数值，则A上的模糊效用函数U可定义为模糊集A到实数ξ的一个映射，即U:A→ξ。

定义4设Z=(A,B)为一个Z-number，A和B是一个连续型模糊数，可分别考虑A和B的效用值，再进行复合求得Z-number的复合效用函数为

(2)

利用上述Z-number复合效用函数可定义Z-number的偏好关系。

定义5假设Z1、Z2是两个连续Z-number，定义偏好关系“”表示Z1劣于或者等同于Z2，即Z1Z2表示CU(Z1)

(1)如果CU(Z1)

(2)如果CU(Z1)>CU(Z2) ，表示Z1优于Z2，用Z1≻Z2表示；

(3)如果CU(Z1)=CU(Z2) ，表示Z1等同于Z2，用Z1～Z2表示。

直观上看，Z-number效用函数会随着其均值的增大而增大。为了更好地求解Z-number复合效用函数，本文基于积分中值与截集提出了两类新的效用函数。

(1)基于积分中值的效用函数。

(3)

其中A-、A+分别为模糊集A的左、右端点横坐标值。

(2)基于λ截集的效用函数。

(4)

其中A+(λ),A-(λ)分别为模糊数A的λ-截集的左、右端点。

下面以三角模糊数为例，对于三角模糊数A=(a1,a2,a3)，则其对应的效用函数公式可表达为：

同理，基于截集的效用函数可表示为：

例1假设有一个Z-numberZ= ((0.4,0.5,x),(0.4,0.7,1))，其复合效用函数CU1和CU2随x变化趋势如图1所示。

图1 Z-number的复合效用CU1和CU2随x变化趋势图

例2设有一个Z-numberZ=((0,x,1),(0,y,1))，其符合效用函数U1随x和y变化趋势如图2所示。

图2 Z-number的复合效用随x,y变化趋势图

从上面的例子可以看出随着模糊集均值向右平移，其效用函数不断增大，Z-number的复合效用值也随A与B效用增加而不断增加。

3 模糊度

一个模糊集的模糊程度可以用模糊度来量化，Luca等[12]给出如下模糊度的概念。

定义6[12]设F(X)为论域X上所有模糊集的全体，任意模糊集A∈F(X)，若映射E:F(X)→[0,1]满足如下条件：

①当且仅当A是清晰集时，E(A)=0；

④对∀A∈F(X)，有E(A)=E(A)c。

则称E为模糊集F(X)上的一个模糊度函数，而E(A)为模糊集A的模糊度。

设A为一个连续型模糊数，下面提出如下两种新的模糊度公式。

(1)利用正弦函数构造正弦模糊度：

(5)

(2)利用多项式函数构造上弦模糊度：

(6)

下面仅证明(5)式满足定义6的四条性质,(6)式可类似证明。

证明对于性质①，当A为清晰集时，即μA(x)=0，可得E(A)=0；反之，若E(A)=0，由于μA(x)∈[0,1]，则sin(μA(x)·π)≥0恒成立。又因为A为连续性模糊数，μA(x)在[0,1]上也具有连续性，则sin(μA(x)·π)在[0,1]上连续。所以sin(μA(x)·π)=0时得到μA(x)=0或1，进而A是清晰集。

对于性质④，由于μAc(x)=1-μA(x)，使得sin(μAc(x)·π)=sin(π-μAc(x)·π) =sin(μA(x)·π)，所以E(A)=E(A)c。证毕。

特别地，对于任意三角模糊数A=(a1,a2,a3)，根据(5)和(6)式可计算其正弦模糊度和上弦模糊度分别为：

4 Z-number综合熵

由Z-number的结构可知，Z-number信息的不确定性主要来自A和B的模糊性以及B中的内在不确定性。其中A和B的模糊性可用其模糊度来度量，B对A可靠性的评价及B的内在不确定性用B的效用函数度量。基于这个思想，可构建如下Z-number综合熵。

定义7设Z=(A,B)为一个Z-number，则Z-number综合熵可定义为

CE(Z)=f(E(A),E(B),U(B))

(7)

其中，E(A),E(B)分别为A、B的模糊度，U(B)为B的效用函数。同时，CE(Z)需要满足如下性质：

(1)综合熵取值范围0≤CE(Z)≤1。

(2)CE(Z)=0当且仅当E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

(3)当E(A)=1,E(B)=1,U(B)=0.5任一等式成立时，有CE(Z)=1。

(4)CE(Z)随着E(A)和E(B)增大而增大；当0≤U(B)≤0.5时，CE(Z)随U(B)增大而增大；当0.5≤U(B)≤1时，CE(Z)随U(B)增大而减小。

定义8Z=(A,B)为一个Z-number，可定义如下的具体的Z-number综合熵：

CE(Z)=1-(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)

(8)

下面证明(8)式满足定义7中的四个性质：

证明对于性质①，因为0≤E(A)≤1,0≤E(B)≤1,0≤U(B)≤1 ，则有

0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2×|U(B)-0.5|≤1。

所以,0≤(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)≤1，进而可得0≤CE(Z)≤1。

对于性质②，充分性代入即可得证。

若有CE(Z)=0，则有(1-E(A))(1-E(B))(2|U(B)-0.5|)=1。又因为

0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2|U(B)-0.5|≤1，

故1-E(A)=1,1-E(B)=1,2|U(B)-0.5|=1,所以E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

对于性质③，E(A)=1或E(B)=1或U(B)=0.5代入(8)式，即可求得CE(Z)=0。

对于性质④，CE(Z)分别关于E(A)和E(B)求偏导数可得:

因此CE(Z)会随着E(A)和E(B)增大而增大。

下面举一个例子观察Z-number综合熵随模糊限制A及可靠性B变化的情况。

例3假设有一个Z-numberZ=((0,x/2,x),(0,y/2,y))，则其综合熵随x与y变化情况如图3所示。

图3 Z-number的综合熵随x,y变化趋势图

5 Z-number多属性决策方法

5.1 基于Z-number综合熵的多属性决策方法

下面基于效用函数、模糊度和Z-number综合熵，提出一种新的Z-number多属性决策方法，具体步骤如下：

假设有一位决策者需要对n个方案进行评价(A1,A2,…,An)，每个方案有m个属性(a1,a2,…,am)，评价矩阵为D=(zij)n×m，其中zij为决策者对方案Ai在属性aj下给出的评价值，该评价值以Z-number的形式给出。

步骤1：规范化Z-number决策矩阵D。通常决策属性可以分为成本型和效益型两大类，为保持数据属性和趋向的一致性，需要对其进行规范化处理。设规范化后的决策矩阵为R=(rij)n×m，其中

(9)

步骤2：结合(2)式计算规范化后Z-number复合效用函数矩阵CE=(CE(rij))n×m。

步骤5： 通过得分公式Score=R×ωT计算每个方案的综合得分，并根据方案得分进行排序，从而得到最优方案。

5.2 实例分析

下面以姚爱婷等[11]中的例题展示上述多属性决策方法的计算过程。假设某位乘客旅行在选择交通工具时有三种不同选择，即汽车、出租车和火车，该乘客主要考虑的因素为价格、舒适度与旅行时间。根据实际情况，成本一般是最重要的影响因素，因此将价格与旅行时间都归属于成本类因素，而舒适度则归属于效益类因素，规范化为效益型后的具体数值如表1所示。

表1 规范化后的决策矩阵

首先，选择效用函数U1((2)式)计算Z-number复合效用矩阵为

然后，结合步骤3分别使用正弦模糊度((5)式)和上弦模糊度(式(6))计算三个属性的综合熵，并根据步骤4的熵值法计算每个属性的权重，综合熵和属性权重计算结果如表2所示。

最后，结合步骤5中的得分公式Score=R×ωT，可计算三种出行方案的综合得分，得分结果如表2所示。可以发现，无论采用正弦模糊度，还是上弦模糊度，出行方案的排序均为A1≻A3≻A2，说明该旅客在综合考虑价格、旅行时间和舒适度因素下最优的出行方式是汽车。该结果也与姚爱婷等[11]中的结论是一致的，说明所提出的多属性决策方法是有效且可行的。

表2 综合熵、权重和得分的计算结果

6 结 论

本文在Z-number理论的基础上提出Z-number的复合效用函数和综合熵，给出两种新的模糊度求解公式(即正弦模糊度和上弦模糊度)。在决策属性完全未知的情况下，本文利用Z-number综合熵判断各方案评价信息的不确定性大小，给予不确定性较小的方案更大的权重，计算各方案的加权复合效用并加以排序得到最好的决策结果。该决策方法同时考虑了属性权重未知、专家偏好未知等不确定因素，为决策者实施决策提供了更准确、直观的理论依据。