小波分析在直升机结构损伤识别中的应用

王鹏飞 李玮

（中国直升机设计研究所，江西景德镇 333001）

1.一维连续小波变换

小波分析是一种变分辨率的时频分析工具[1]，很适合探测、识别、分析正常信号中夹杂着的瞬态反常现象，故被誉为“数学显微镜”，被广泛应用于信号处理、语音识别、故障诊断等领域，并取得了良好的效果[2]。

设ψ(t)=L2(R)，它的傅里叶变换是ψ(w)，当ψ(w)满足完全重构条件：

此时ψ(t)称为一个基本小波，将ψ(t)平移和压缩后得：

ψ(t)被称为小波序列；a是伸缩因子，体现了被分析信号的频率信息；b是平移因子，体现了被分析信号的时间信息；ψa,b(t)为小波函数。对于任意的函数f(t)∈L2(R)，其连续小波变换为：

重构公式是：

设θ(t)是可以起光顺效果的低通平滑函数，且θ(t)满足。小波函数ψ(t)是这个低通平滑函数的一阶导数，因此ψ(t)=dθ(t)/dt。因为θ(t)是1/(1+t2)的高阶无穷小，可以得到θa(t)=aθ(t/a)。

因此小波变换最后可以表示为：

由此可见，对需要分析的信号使用小波变换后再求导，等同于用小波函数的一阶导数对该信号进行小波变换[3]。x(t)经过低通平滑函数θ(t)平滑后的倒数与Wx(a,t)成正比。Wx(a,t)沿着时间序列的最值点对应了x(t)＊θa(t)的拐点位置，也就是信号的突变点[4]。所以小波变换后的模极大值点对应着采集信号中的突变点。

2.有限元模型

2.1 几何尺寸与边界条件

为了研究使用小波分析基于监测信息定位损伤位置以及损伤程度的方法，以直升机框梁下部区域的腹板为研究对象，建立了如图1所示的模型。其板长度a=290mm，宽度b=145mm，厚度t=2mm，铝合金材料泊松比γ=0.33，弹性模量E=71000MPa，密度ρ=2823kg/m3。

图1 腹板位置与含损伤有限元模型图

腹板的网格划分采用shell单元，施加四边简支边界条件，在左侧区域预置2个深度为0.4mm的凹坑，在右侧区域预置1个深度为0.8mm的凹坑，计算含损伤铝合金平板的振动模态。

2.2 模态程序验证

通过使用兰索斯法对板的振动模态进行分析，可以求出板的振型模态和转角模态，并验证数值计算结果的准确性，对于四边简支板，板的各阶固有圆频率存在理论解，公式为，计算腹板的第一阶自振频率为286.4Hz，数值解为286.2Hz，二者吻合（见表1），程序能正确计算板的一阶振动模态。

表1 腹板一阶自振频率理论解与数值解对比表

板的一阶振型模态和转角模态如图2所示。

图2 含缺陷平板的振型模态和转角模态

3.小波分析方法识别腹板的损伤

3.1 系数极大值点与信号中的突变点

直升机腹板在服役过程中会存在一定的损伤，如图3所示。此时板厚减少，该区域的刚度D=Et3/[12＊(1-μ2)]降低。其中E为弹性模量，t为板厚，μ为泊松比。含损伤腹板结构仍然满足变形协调方程以及内力平衡方程：

图3 含损伤的四边简支腹板模型

根据变形协调条件，损伤边界处挠度相同

根据内力平衡条件，损伤边界处弯矩相同

其中x1-，x1+分别为损伤边界左右两侧出的坐标值。

因为D(x1-,y)≠D(x1+,y)，所以，所以板损伤处挠曲线二阶偏导数在边界处不连续，即奇异性，可以通过小波变换后根据系数的模极大值点确定测量信号中的突变点，进而识别直升机腹板损伤的位置。

3.2 基于转角模态信息的损伤识别

使用Haar小波对板的转角模态信号进行小波分解，分析发现板节点的转角信号是连续无间断的，但是在损伤位置处，出现了小波系数的突变点，如图4所示。在存在0.4mm深度缺陷位置处，出现模极大值，可根据小波系数的突变点定位腐蚀损伤的位置。小波分析也能进行边缘检测，因为板边缘处节点的信号特性会发生突变，所以在边缘节点处，小波分析也会出现模极大值点，应该人为分析后舍弃。

图4 转角模态的小波分解系数曲线图

与下侧缺陷相比，上部区域发生了2处深度不同的损伤，分别为0.4mm和0.8mm，使用Haar小波对转角模态信号进行一维连续小波分解，可以发现小波系数的模极大值点有2个，分别对应2个腐蚀损伤发生的位置。并且损伤程度越严重，小波系数模的绝对值越大。因此小波分析不仅可以用于分析损伤位置，还能确定损伤的严重程度。

通过对比分析可知，使用小波分析可以进行损伤的定位与损伤程度监测。小波信号出现模极大值点的位置对应有损伤发生；当有2个位置存在损伤时，损伤程度大的位置小波系数模值更大。

3.3 小波基类型的影响

小波基函数不是唯一的，任何满足小波条件的函数都可以作为一个小波基，也可根据特定问题建立一个小波基。常见的小波类型有Haar小波、dbN小波、morlet小波、Mexh小波等，需要研究小波类型对含缺陷板损伤识别准确度的影响，如图5和图6所示。

图5 db2小波形状与小波系数曲线图

图6 Mexh小波形状与小波系数曲线图

可知选用不同的小波基，对转角模态进行小波分解时，都会出现小波系数模的极大值点，从而实现损伤位置的识别。

4.结论

本文针对含损伤铝合金腹板结构，在建立数值模型的基础上，采用兰索斯法计算板的振动模态，并基于板自振时的转角模态，使用小波分析方法准确定位了损伤的位置及程度，主要结论如下：

（1）对板在一阶自振时的转角模态进行小波分析，可以定位损伤的位置和程度，在小波系数的模极大值点的位置对应有损伤发生。当有2个位置存在损伤时，损伤程度大的位置小波系数模值更大。

（2）使用不同的小波基对信号进行小波分解，如Haar小波、dbN小波等都可根据小波系数模的极大值点实现损伤识别。