含记忆阻尼函数的周期势系统随机共振*

许鹏飞 公徐路 李毅伟 靳艳飞

1) (山西农业大学数学系,太谷 030801)

2) (山西农业大学软件学院,太谷 030801)

3) (北京理工大学力学系,北京 100081)

研究了外部周期信号和内部噪声共同激励下,含记忆阻尼函数的周期势系统的随机共振.针对具有多稳态特征的周期势系统,推导出适用于一般多稳态模型的系统响应振幅和功率谱放大因子.研究结果表明,功率谱放大因子随温度的变化曲线出现单峰,说明含记忆阻尼函数的周期势系统存在随机共振现象,并且系统的记忆特性和稳态点数量对共振行为有着显著影响.此外,利用随机能量法进一步分析了系统的随机共振现象,发现共振效应随着记忆时间的增加先减弱再增强.在适当的温度条件下,存在最优记忆时间可以最大化外部周期力对系统所做的功.

1 引言

随机共振的概念由Benzi 等[1]在研究古气象冰川期问题时提出,其理论发展及应用已经在不同科学系统中取得显著成果[2−4],但较少涉及含记忆阻尼的动力系统.该系统描述了一类处于无序介质或复杂环境下的non-Markovian 过程[5−8],例如处于生物细胞、湍流、生长表面、渗透媒介、黏性材料等背景中的粒子就展示出偏离Brown 运动的反常扩散行为,它的运动速度所产生的记忆效应归因于空间和时间上的非局域特性.针对这类含记忆效应的随机系统,广义Langevin 方程(generalized Langevin equation,GLE)是研究其动力学行为的主要手段之一[9−14].特别地,GLE 中的阻尼项取决于随时间变化的记忆核函数,其中记忆核的类型主要包括了幂函数型[9]、不同形式的指数函数型[10−12]以及Dirac delta 函数与指数函数的混合型[13,14]等.在随机模型中,外部噪声主要源于系统所处的环境或实验内的噪声发生器,而GLE 中的内部噪声通过涨落耗散关系依赖于系统的记忆阻尼核函数[15],即内部噪声和耗散产生于同一随机源,从而使系统处于平衡状态.在GLE 刻画的动力模型中,噪声诱导行为以及记忆性对动力学现象的影响已经在不同学科领域内受到研究者们的关注,例如反常扩散[9−11]、信息熵[16]、平均首次穿越时间[17]、随机共振[18−22]等.其中,在含不同记忆阻尼函数的线性系统中,文献[18−20]基于GLE分别详细讨论了时滞、固有频率涨落噪声及Mittag-Leffler 噪声作用下的随机共振现象.在携有指数型记忆核的双稳态系统中,Hasegawa[21]和Srokowski[22]均通过GLE计算了系统的功率谱放大因子,并分析了不同条件下记忆效应对随机共振的影响.在非对称三稳态系统中,研究表明记忆时间抑制相干共振,却增强随机共振[13].由于广义Langevin 系统存在着显著的non-Markovian 性质,故导致它的动力学特性复杂多变,分析困难.然而,在GLE 描述的周期势系统中,尚未出现关于随机共振现象的研究,尤其记忆效应对共振行为的影响.

另一方面,具有多稳态特征的周期势模型已在物理、化学、生物、工程等领域内展示出了广泛的应用,如Josephson 隧道结[23]和分子马达[24]等.周期势系统中噪声诱导动力学的研究也呈现出丰硕的成果,例如:噪声诱导的粒子输运[25]、棘轮效应[26]、稳定性[27]、相干共振[28]等.此外,Saikia[29]在二阶欠阻尼的周期势动力系统中引入随机能量法作为衡量随机共振的特征指标,发现随机共振出现在驱动信号的高频区域内,且两个动力学状态的稳定性与随机共振效应依赖于系统的阻尼参数和信号幅值.Reenbohn 等[30]研究了欠阻尼倾斜周期势中的随机共振,并基于两个具有不同振幅和相位的动力学状态解释了共振行为的发生.Nicolis[3]将随机共振理论拓展至过阻尼多稳态模型中,解释了系统在初始状态与最终状态的跃迁过程中可以同时存在任意数量的中间稳定状态,发现适当数量的稳定状态可使周期势系统响应最大化.在高斯白噪声和输入信号共同作用的周期势模型中,通过矩方法[31]和仿真实验[32]详细分析了随机共振现象.周期势系统的随机共振还在多种形式的噪声激励下得到研究,例如多值噪声[28]、Lévy 噪声[33]、高斯色噪声[34]等.但上述研究都是依据经典的Langevin方程进行,且多稳态特征导致理论分析尤其缺乏,主要局限在数值和实验方面的研究.

本文研究了外部周期信号驱动下含记忆阻尼函数的周期势系统的随机共振.首先介绍了GLE描述的含记忆阻尼函数的二阶动力学模型.然后,在多稳态情形下,率先推导了系统功率谱放大因子的解析表达式,并进一步计算了系统的输入能量.最后,从这两个角度研究了周期势模型的随机共振现象,详细分析了记忆效应和多稳态特征对共振行为影响.

2 系 统

本文考虑的模型描述了单位质量的粒子在周期势U(x) 中的运动,其中系统含有依赖于时间变化的记忆阻尼函数,且受到内部噪声和外部周期信号的共同作用.该数学模型通过广义Langevin 方程表示为如下形式[11]:

其中x(t) 代表粒子运动的位移;参数ε0和ω分别表示外部周期信号的振幅和频率.特别地,内部噪声ζ(t)的均值为零,其自相关函数与系统的记忆阻尼核γ(t) 之间满足涨落耗散理论[15],即

这里kB是Boltzmann 常数,T是环境的绝对温度.记忆核函数γ(t) 是由一个Dirac delta 函数和一个含记忆时间τc的指数型函数构成[13,14]:

从记忆核函数方程(3)中容易发现方程(2)中的内部噪声ζ(t) 可看作两个相互独立的噪声项之和,即Delta 关联的高斯白噪声和指数关联的色噪声.因此,系统(1)式具有短时间的Markovian 特征和相对长时间的non-Markovian 特征,其中记忆效应由方程(3)中随时间演化而指数衰减的函数项来刻画,这里参数Γ代表系统的记忆强度.含此类记忆核的广义Langevin 方程广泛应用于研究复杂环境下非线性系统的物理现象,典型案例包括在具有均匀静磁场的平面上,受双谐方式约束的带电粒子的轨道磁矩[11];过阻尼双稳态模型中的随机共振现象[35];带电粒子在黑体辐射中的弹道扩散行为[36].当记忆性不存在时(Γ=0),系统(1)式退化成了一个传统的高斯白噪声激励的二阶动力系统模型.

针对系统(1)式引入新变量y(t) 和z(t) 进行变换,则原系统等价地描述为具有Markovian 特性的Langevin 方程组:

其中噪声项ζ1(t)和ζ2(t) 是两个无关联的高斯白噪声,满足统计性质:〈ζi(t)〉=0,〈ζi(t)ζj(t′)〉=δi,j(t −t′)(i,j=1,2).特别地,方程组(4)中的新变量z(t) 具有如下形式:

令ρ(x,y,z,t) 表示方程(1)在t时刻处于状态 (x,y,z) 的概率密度函数,则获得其满足的Fokker-Planck 方程:

对于(6)式中不含外部周期信号的情形(ε0=0),在细致平衡条件下,获得平稳概率密度函数ρst(x,y,z)的解析表达式:

其中N表示全概率归一化的常数.

当系统(1)式受外部周期信号ε0cos(ωt) 作用时,假定其振幅ε0充分小以致能够进行小参数展开计算,且信号为阈下激励.同时,限制频率ω ≪1,使得系统在一个信号周期内有足够长的时间达到局域平衡态,即满足绝热驱动.从而可获得Fokker-Planck 方程(6)的准稳态解[37],其中广义势函数结合方程(7)整理为如下形式:

本文考虑系统(1)为周期势系统,即势函数U(x)=−cos(m0x),从而确定性系统(4)存在多个稳定平衡点sn(xsn,0,xsn) 和不稳定平衡点是un(xun,0,xun),其中xsn=2nπ/m0,xun=(2n+1)π/m0,m0和n均为正整数.如图1(a)所示,随着m0的变化,势阱的宽度发生变化,设置m0的值可改变给定位移区间内稳态点的个数.图1(b)给出了离散状态下该周期势系统在n个稳定状态之间跃迁的示意图.可见,周期势系统在两端状态之间的噪声诱导跃迁过程中同时存在多个中间稳定状态,有必要进一步研究稳态点数量、温度及记忆效应对系统输出响应的影响.

图1 (a)周期势函数;(b)离散的多稳态过程Fig.1.(a) Periodic potential;(b) discrete multi-stable process.

3 随机共振

本节首先依据线性响应理论推导系统关于外部周期信号的响应振幅及功率谱放大因子的解析表达式;再利用随机能量法进一步计算系统的输入能量;然后,从这两个方面分别验证周期势模型(1)式中随机共振现象的产生,详细讨论记忆效应、温度及系统的多稳态特征对共振行为的影响.

3.1 功率谱放大因子

在绝热近似条件下[2],系统在每个稳定状态的吸引域内达到局域平衡所需的时间远小于系统在不同吸引域之间整体平衡需要的时间,即单个稳态点处的局域平衡时间可以忽略,故连续系统(4)式可近似转化为一类离散的多稳态Markov 过程.如图1(b)所示,系统在稳定状态si处的吸引域内的概率φi可通过方程(6)中的概率密度函数表示为

其满足概率交换的主方程:

其中βv(si) 表示无噪声和信号激励的方程(4)在稳态状态si(2iπ/m0,0,2iπ/m0) 处的线性化矩阵的特征值;λ1(ui)和λj(ui) (j=2,3) 分别表示无噪声和信号激励的方程(4)在不稳定状态ui((2i+1)π/m0,0,(2i+1)π/m0)处的线性化矩阵的正特征值和负特征值.

根据线性响应理论[39],在长时间极限下,方程(9)的稳态解可分解为如下形式:

矩阵C和 ∆φ分别满足下列形式:

其中α0为方程(9)中无外部周期信号(ε0=0)的概率跃迁速率.

方程(11)中的解δφi可以表示为如下形式:

其中Ai和Bi决定了系统关于外部周期信号的响应振幅和相位.替换方程(14)进入方程(12),再比较方程两边正弦函数和余弦函数的系数得到Ai和Bi的表达式,从而获得系统关于外部周期信号的响应振幅ri=即

其中Ek和Θk分别表示方程(13)中矩阵C的特征值和特征向量,Fk是方程(13)中矩阵 ∆φ在特征向量Θk的展开系数,即具体地,

当系统在稳定状态时,根据方程(11)表示出依赖时间变化的位移一阶矩:

其中R和ψ分别对应系统位移的振幅和相位.进一步,根据方程(15)—方程(17)得到系统功率谱放大因子的解析表达式:

功率谱放大因子(18)式适用于一般的周期势模型,其依赖于周期势中连续平衡点的个数,与位置无关.在真实环境中,受噪声和信号激励的多稳态系统,其运动轨迹通常局限在一定的范围内,如图1(b)所示的多稳态模型.为分析多稳态特征及固定区间内稳态点数量对随机共振的影响,本节主要考虑周期势系统(1)式的有限稳态点情形.

根据方程(15)和方程(18),图2 展示了记忆时间τc对周期势模型的功率谱放大因子η1和响应振幅ri的影响.在图2(a)中,η1随温度T的变化出现了显著的共振峰,标志着随机共振现象的发生.随着τc的增大,η1的峰值逐渐升高,共振效应增强,且共振峰位置向T减小的方向移动,即噪声表现出对系统响应的建设性角色得到增强.因此,在周期势系统(1)中,记忆时间对关于外部周期信号的输出响应具有积极的增强作用,而相反的情形发生在含记忆阻尼的双稳态系统中[35],其中记忆性抑制了随机共振.该现象可通过图2(b)得到解释,对于固定的稳态点个数n=30 和不同的τc值,绘制了各个稳态点对应响应振幅ri的变化曲线.在两个边界的稳定状态处(s1和sn),响应振幅得到最大化,并且朝向中间的稳定状态对称性减弱,最终达到最小值.这是由于处于中间状态的系统会等可能地跃迁到两个相邻的稳态点处,而在边界的稳态点处跃迁是不对称的.另外,各个稳态点的响应振幅均随着τc的增加而增大,即在适当的记忆时间作用下,外部的弱周期信号在该周期势系统中得到进一步放大.系统的记忆性是在复杂无序的非均匀环境下粒子运动所引发的,不同的介质能够使历史速度产生不同的记忆时间,而在类似于该周期势的多稳态系统中利用记忆效应将有助于增强随机共振行为.

为分析随机共振和验证理论结果的有效性,数值计算了系统(1)的功率谱密度,如图3 所示,其中选择103条样本轨迹,采样频率Fs=100 Hz 以及数据长度N=107.从图3(a)中看到,功率谱密度在适中的温度值(T=3)处呈现出显著的峰值,且峰值对应的频率值(f=0.00101)近似等于外部周期信号的驱动频率ω,而在一定的低温(T=0.4)和高温(T=50)下峰结构均减弱甚至消失.这说明存在最优温度可使得系统出现随机共振现象,从而导致噪声背景下的信号功率谱明显增加.由于周期势系统具有无穷多个平衡点,所以需要足够大的最优温度才能确保粒子连续地穿越势垒,出现与驱动频率相一致的共振同步现象.此外,在给定的温度下,图3(b)揭示了功率谱密度的峰值随着记忆时间τc的增加而逐渐升高,表明记忆阻尼的存在可优化周期势系统的信号放大性能,增强随机共振效应,这与图2 中的理论结果相一致.

图2 记忆时间 τc 对随机共振的影响 (a) 功率谱放大因子 η1 随温度T 的变化曲线(n=6);(b)第i 个稳态点对应的响应振幅 ri 的变化曲线.其他参数取值为 Γ=4,γ0=1,ω=0.001 和m0=1Fig.2.The effects of memory time τc on stochastic resonance:(a) Spectral amplification η1 versus temperature T;(b) amplitude of the response ri versus i.Other parameter values are chosen as Γ=4,γ0=1,ω=0.001 and m0=1.

图3 功率谱密度(PSD)作为频率的函数曲线 (a)不同的温度T 和 τc=1 ;(b)不同的记忆时间 τc 和 T=0.75 .其他参数取值为 Γ=4,γ0=1,ε0=0.3,ω=0.001 和m0=1Fig.3.Power spectrum density (PSD) of the system as a function of frequency with different values of (a) temperature T (τc=1);(b) memory time τc (T=0.75).Other parameter values are chosen as Γ=4,γ0=1,ε0=0.3,ω=0.001and m0=1 .

在图4 中,分析了周期势函数的稳态点个数n对功率谱放大因子η1以及响应振幅r1和r2的影响.从图4(a)中可观察到,曲线η1−T的峰值随着n的增加显著上升,且共振峰位置向T增加的方向移动.可见,稳态点数量的增多能够明显增强随机共振现象.由于多稳态系统中两个边界稳态点之间的距离随着n的增加而变大,即粒子运动的位移区间长度 2nπ 变大,因此系统在两个最外侧势阱之间可产生更大幅度的阱间响应,同时需要足够大的温度,这与图3(a)中的分析一致.故在多稳态系统中,通过适当增加稳定状态的数量,随机共振现象将能够在较大的噪声强度处发生并显著增强,从而有效提升强噪声环境中弱信号的探测能力.在图4(b)中,绘制了边界稳态点s1对应的最大响应振幅r1随温度的变化曲线,其峰值随着n的增加而下降,相反于图4(a)中功率谱放大因子的变化趋势.这是由于在给定的激励条件下,随着两个边界稳态点之间的距离变大,粒子到达最外侧势阱的概率逐渐减小,响应振幅减弱.但在图4(c)中,稳态状态s2对应的响应振幅r2,其峰值随n的增加先上升,再下降,即存在最优稳态点个数使得响应振幅最大化.这表明在噪声和外部周期力的共同作用下,多稳态系统在不同稳定状态之间的运动出现了更加复杂的动力学现象.值得注意的是,对于固定的稳定状态数,功率谱放大因子和所有响应振幅均在一致的温度值处达到局部最大值,如图4 中标记的峰值.故在给定的多稳态系统中,两者均可用于衡量随机共振现象.

图4 稳态点个数n 对随机共振的影响 (a)功率谱放大因子 η1 随温度T 的变化曲线;(b)响应振幅 r1 随T 的变化曲线;(c)响应振幅 r2 随T 的变化曲线.其他参数取值为τc=3,Γ=5 ,γ0=1,ω=0.001 和m0=1Fig.4.The effects of the number of stable steady states n on stochastic resonance:(a) Spectral amplification η1 versus temperature T;(b) amplitude of the response r1 versus T;(c) amplitude of the response r2 versus T.Other parameter values are chosen as τc=3,Γ=5 ,γ0=1,ω=0.001and m0=1 .

考虑粒子在有限的范围内运动时,稳态点数量对系统响应的影响.在周期势U(x)=−cos(m0x)中选择固定的位移区间,即x ∈[(2i −1)π/m0,(2i+2n −1)π/m0],其中i是任意整数,区间长度为 2Lπ (L=n/m0).如图1(a)所示,通过设置m0的值可控制固定区间内系统稳态点的个数,且势垒高度保持不变.图5 描述了在给定的区间范围内系统的功率谱放大因子η1随区间内稳态点个数n的变化情况.从图5(a)中观察到,对于固定的区间长度L,η1随区间内稳态点个数的增加展示了一个非单调的变化趋势.此结果揭示了在粒子运动的区间范围内,存在最优的稳态数量使得共振强度达到最佳,优化系统关于驱动信号的输出响应.随着L的增加,η1的峰值依次升高且位置向n增大的方向移动,即粒子运动的有限区间长度与其内部的稳态点数量对增强系统响应的作用表现出正相关关系.在实际环境中,受噪声或外部信号驱动的系统,其运动通常局限在一定的区间内,考虑选取最优的稳态数量将有利于增强系统对外部弱信号的响应强度.此外,在固定的区间长度下(L=10),图5(b)展示了记忆强度Γ对功率谱放大因子的影响.随着Γ的增加,η1-n曲线的峰值下降且形状趋于平缓,即随机共振效应减弱,而共振区域变宽,同时峰值对应的稳态点数量也增多.因此,系统关于外部周期信号的响应不仅依赖于多稳态势函数,而且与记忆性密切相关.增大的记忆强度对共振行为呈现抑制作用,但在合适数量的多稳态系统中共振现象又能得到增强.在无序的媒介或复杂的环境中,记忆强度反映了介质分子对粒子运动产生的记忆效应,合理协调记忆强度和多稳态势函数的关系有助于提升系统的输出.

图5 功率谱放大因子 η1 作为区间内稳态点 个数n 的 函数曲线 (a)不同的区间长度L 和 Γ=3 ;(b)不同的记忆强度Γ 和固定的长度 L=10 .其他参数取值为 τc=4 ,γ0=1,ω=0.002 和T=0.8Fig.5.Spectral amplification η1 versus the number of stable steady states n with different values of (a) interval length L (Γ=3) and (b) memory strength Γ (L=10).Other parameter values are chosen as τc=4 ,γ0=1,ω=0.002and T=0.8 .

3.2 输入能量

周期势系统(1)具有无穷多个平衡点,当粒子呈现出更加复杂的运动行为时,可导致系统不满足如图1(b)所示的多个稳态之间的跃迁情形,此时研究随机共振需借助系统的输入能量进行衡量.在随机涨落的环境中,分析外部周期力对系统做的功,其随温度或噪声强度的变化可反映出能量在不同状态之间的转换.

依据随机能量公式[29],外部周期信号在一个周期内τω=2π/ω对系统所做的功或输入能量W可计算为

其中有效势函数Ue(x,t)=U(x)−ε0xcos(ωt),U(x)为图1(a)中的周期势函数.

在给定的初始条件下,单一轨迹中N1个信号周期的平均输入能量为

采用四阶Runge-Kutta 算法对原系统进行离散化,其中信号的周期个数设置为N1=104,时间步长 dt=0.01 .在103条不同初始条件的样本轨迹下,对相应的平均输入能量方程(20)进行平均,最终得到所有样本轨迹的平均输入能量

图6 平均输入能量 W 作为初始位置 x(0) 的函数随不同温度T 的变化情况,黑色线代表系统的输入信号 ε0 cos(ωt) (a) T=0.001;(b) T=0.003;(c) T=0.009;(d) T=0.018.其他参数取值为 τc=2.3 ,γ0=0.12,Γ=0.02 和ω=π/4Fig.6.Average input energy averaged over an entire trajectory with initial position x(0) for different values of temperature T,where the black line denotes the input signal ε0 cos(ωt) :(a) T=0.001;(b) T=0.003;(c) T=0.009;(d) T=0.018.Other parameter values are chosen as τc=2.3 ,γ0=0.12,Γ=0.02 and ω=π/4 .

图7 记忆强度Γ 对输入能量的影响 (a)平均输入能量 随温度T 的变化曲线;(b)相位差 随T 的变化曲线.其他参数取值为τc=2.3 ,γ0=0.12和ω=π/4Fig.7.The effects of memory strength Γ on input energy:(a) Average input energy versus temperature T;(b) phase lag versus T.Other parameter values are chosen as τc=2.3 ,γ0=0.12 and ω=π/4 .

图8 记忆时间 τc 对输入能量的影响 (a) 随T 的变化曲线;(b) 随 τc 的变化曲线.其他参数取值为 Γ=0.7,γ0=0.12和ω=π/4Fig.8.The effects of me mory time τc on input energy:(a) versus T;(b) versus τc .Other parameter values are chosen as Γ=0.7 ,γ0=0.12 and ω=π/4 .

4 结论

针对广义Langevin 方程描述的含记忆阻尼的周期势系统,主要研究了该系统在外部周期力作用下的随机共振.由于系统的多稳态特征和non-Markovian 性质导致理论分析困难,故引入变量变换将原始的non-Markovian 模型等价转化为多维Markovian 系统.根据线性响应理论,推导出了适用于一般多稳态模型的功率谱放大因子,揭示了记忆效应和多稳态特征对随机共振的影响,并得到数值结果的验证.分析表明,记忆时间的延长和稳态数量的增多均对共振行为有增强作用,但诱导共振产生的温度变化不同.对于固定的系统位移区间,存在最优稳态点数量使得共振效应最佳,同时记忆强度对系统输出响应的影响依赖于稳定状态的个数.然而,当周期势系统呈现出更加复杂的运动行为时,通过输入能量发现,记忆时间对随机共振起着先减弱再增强的作用,即在适当温度范围内,合理控制记忆时间可优化外部周期力对系统所做的功.

本文获得的解析结果为周期势系统中共振现象的研究及应用提供理论指导作用.具有记忆阻尼的随机动力系统多用于描述粒子在复杂无序的非均匀环境中运动,接下来可进一步考虑外部噪声及与内部噪声的互关联性对共振行为的影响.由于周期势系统的多稳态特征,上述随机共振理论可有效应用于机械故障诊断中微弱信号的检测.