基于知识本质，深化数学思维——以“把假分数化成整数或带分数”的教学为例

江苏省宜兴市周铁小学 王 芳

“把假分数化成整数或带分数”是苏教版数学五年级下册第四单元的教学内容。在此之前，学生已经学习了分数的意义、分数与除法的关系以及真分数与假分数。在此之后，学生还将进一步研究假分数，丰富对分数的认识。这部分内容的教学重点是掌握把假分数化成整数或带分数的方法，教学难点是探索假分数化成整数或带分数的思考过程。

一、纵向贯通，思维由浅入深

片段1：复习旧知，引入新课

（1）先说出下列分数的意义，再说说每个分数的分数单位，以及各有几个这样的分数单位。

教师指名回答。

师：你能把这三个分数分分类吗？

生：第一个是真分数，后两个是假分数。

师：是呀，真分数都比1怎么样？

生：真分数都比1小，假分数大于或等于1。

（2）填空。

师：这样填写的依据是什么？

生：分数与除法的关系。

师：说说分数和除法到底有什么关系。

生：被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。

师：看来，同学们对分数的意义以及分数与除法的关系理解得都不错。今天这节课我们就充分利用这两个知识点来解决一些问题。

学习“把假分数化成整数或真分数”的内容时，学生已经充分理解了分数的意义以及分数与除法的关系。所以复习时，首先呈现了三个分数，让学生说说分数意义以及分数单位，随即呈现填空题，让学生具体说一说分数与除法的关系。学生通过说理表达，能够深化对数学知识的理解。引导学生回顾之前学过的知识，激活已有的关于分数的一些学习经验，为今天的新课学习打下了坚实的知识基础。

数学知识体系从来不是孤立分开的，而是完整统一的。因此，在教学中教师要立足于学生已有的知识以及学生的认知发展规律，将所有知识点放置于整个知识结构体系中，从而使学生在数学学习中形成纵向思维，让学生在数学知识体系范围内，按照有顺序的、可预测的、程式化的方向进行思考，由浅入深、清晰明了。

二、横向沟通，思维由窄及宽

片段2：主动思考，认识新知

师：接下来，我们还要请一个老朋友参与我们的研究。瞧，这是一条数轴。每个分数都能在数轴上找到它的位置。

师：现在你们能很快在数轴上找到它的位置吗？

（学生在学习单上独立完成）

师：说说你是怎样想的？

师：哦，你是根据分数的意义来找的，还有不同的方法吗？

生 2 ：4÷4=1。

师：哦，你是根据分数与除法的关系来找的。

师：大家先观察。

师：你们能很快地在数轴上找到这些分数对应的点吗？

（学生在学习单上独立完成）

师：观察一下，这些分数在数轴上对应的点有什么共同点？

生3：都在整数上。

师：这样的分数说得完吗？

生5：说不完。

师：是呀，刚才同学们举了这么多例子，想一想，怎样的分数能化成整数2？

生：分子是分母的2倍。

师：刚才我们把这些假分数化成了整数，那请同学们观察并思考这两个问题：

（1）能化成整数的假分数，它们的分子和分母有什么关系？

（2）可以怎样将这样的假分数化成整数？

生6：分子是分母倍数的假分数可以化成整数。

生7：用分子除以分母，所得的商就是整数。

例题的安排是先特殊后一般，逐步让学生理解并掌握“分子是分母倍数的假分数可以化成整数”这个规律，学生对假分数的认识就更进一步了。先出示尝试将其化成整数，学生利用已有的知识经验，通过形象思维进行改写。把单位1平均分成4份，表示这样的四份，是1。或者根据分数与除法的关系，通过得到。这时，再出示另外三个假分数，通过刚才的经验，学生很快地在数轴上找到这些分数对应的点。通过把画图的形象思考和抽象的除法计算结合起来，学生对能化成整数的假分数会有更加深刻的认识。接着让学生根据刚才的几个实例思考两个问题，很快能得出结论：分子是分母倍数的假分数可以化成整数，并且分子除以分母所得的商就是假分数的数值。同时，还发现计算的方法比画图方便一些。

数学的本质在于学习一种思维方法，在教学中让学生多用数学语言表达，能培养学生思维的严谨性和条理性；在解决问题的过程中，引导学生多角度思考问题，能培养学生思维的灵活性和发散性。在教学中让学生经历从“误”到“悟”，真切地感受数学学习的过程。

三、纵横融通，由内而外

片段3：真实思考，思维碰撞

生：1和2之间。

师：为什么？

教师展示几个学生的作业。

学生1：

学生2：

师：谁来说说什么是带分数？

师：这个带分数，怎么写呢？

生：先写整数1，再写真分数。

师：又该如何读呢？

生：读作一又三分之一。

（全班齐读）

师：你可以借助画图或者其他方法来研究，请同学们先在学习单上独立完成，再和你的同桌交流，分享你的想法。

学生3：

学生4：

师：还有其他不同的方法吗？

（学生说一说11、4、2、3各表示什么）

师：你能用这样的方法把这两个假分数化成带分数吗？

教师指名回答。

师：刚才我们把假分数都化成了带分数，那怎样把假分数化成带分数呢？同桌交流一下。

通过刚才的学习，我们发现假分数可以化成整数或带分数。这就是这节课我们学习的内容：把假分数化成整数或带分数。请同学们先自主思考这样几个问题：

（1）什么情况下，假分数可以化成整数？什么情况下可以化成带分数？

（2）怎样把假分数化成整数或带分数？

（3）在研究把假分数化成整数或带分数的过程中，我们主要借助了什么帮助我们思考和理解。

根据前面的例题，学生已经知道分子是分母倍数的假分数可以化成整数，这里部分学生会产生疑问：那分子不是分母倍数的假分数呢？还能化成整数或者其他不同的形式吗？这时，就顺理成章地引出带分数的概念。以为例，介绍了带分数的含义以及读法和写法。接着，学生尝试把改写成带分数。通过对带分数含义的理解，学生可以通过数轴、画图或根据分数的组成将化成，还可以通过直接列式计算得出。把假分数化成带分数的思路和方法是多样的，但不同的方法在本质上是相通的，主要引导学生优化方法——用除法计算，理解把假分数化成带分数是一个等值变形的过程。

任何新知识的学习都是建立在原有知识基础上的。本节课在探索如何把假分数化成带分数时，学生分别阐述了自己的观点，在师生共同分析、评价的过程中，学生经历知识的整个生成和发展过程，实现了深度学习。

教师是教学活动的组织者、设计者、引导者，学生是课堂的主体。学生只有在学习新知的过程中不断地提出质疑和思考，才能让每一个思维节点得到聚焦，得到放大，才能让思考变得深刻。对于课堂教学而言，正因为有了学生精彩的生成，课堂才富有趣味。

总之，在数学教学中，教师要根据学科特点、学生年龄特征、认知发展规律以及思维特点，从多方面、多角度挖掘知识间的联系，从而帮助学生建构完整的数学认知结构，发展数学思维体系。