高中数学解题中向量法的运用

摘要：向量是高中数学的重要知识点，同时也是解答相关数学习题的重要工具.本文结合具体实例，探讨向量法在三角函数、不等式、平面几何、立体几何、直线与圆等解题中的运用.

关键词：高中数学;解题;向量法;运用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0036-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：陈苏平（1986.9-），男，江苏省溧水人，中学一级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

运用向量法解答高中数学习题的难点在于如何根据已知条件构建合理的向量，因此教学中应注重给予学生运用向量法解题的引导，而后要求学生灵活运用向量的几何及其坐标运算知识顺利地求解相关习题，使学生亲身体会用向量法解题的简便之处.

1 向量法用于解答三角函数习题

例1已知sinα+sinβ=22，则cosα+cosβ的取值范围为（）.

A.[-72，72]B.[-142，142]

C.[-152，152]D.[-172，172]

解析由题意可设m=（cosα，sinα），n=（cosβ，sinβ），则m+n=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）.

又因为sinα+sinβ=22，

所以m+n=（cosα+cosβ，22）.

又因为0≤|m+n|≤|m|+|n|，

即0≤（cosα+cosβ）2+12≤2.

因此，cosα+cosβ∈[-142，142]，故选B.

点评应用向量法解答三角函数习题时，既要注重利用三角函数的相关公式以及一些隐含条件，又要根据已知条件运用向量构建不等关系.

2 向量法用于解答不等式习题

例2已知a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为（）.

A.32B.52C.92D.182

解析根据题意设m=（3a+1，3b+1，3c+1），n=（1，1，1），则|m|2=（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=6.

又因为|m|2≥（m·n）|n|2，

故（3a+1+3b+1+3c+1）2≤18.

因此，0<3a+1+3b+1+3c+1≤32，故选A.点评运用向量法求解不等式习题具有一定的技巧性，可根据解题经验以及已知条件构建相关向量，而后运用向量与其模之间的关系进行求解.

3 向量法用于解答平面几何习题

例3已知ABCD为直角梯形，AB和CD是梯形的两个底，其中∠ABC为直角，且满足BC=CD=12AB，则∠CAD的余弦值为.

解析建立如图1所示的平面直角坐标系：

将AB的长度看作为2，则A（2，0），C（0，1），D（1，1）.

則AC=（-2，1），AD=（-1，1）.

则|AC|=5，|AD|=（-1）2+12=2，

AC·AD=3.

因为AC·AD=|AC|·|AD|cos∠CAD=10·cos∠CAD=3，

所以cos∠CAD=31010.

点评运用向量法求解几何问题时，通常构建平面直角坐标系，借助向量的坐标运算简化解题步骤，提高解题效率.

4 向量法用于解答立体几何习题

例4如图2，已知三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC为直角，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°.若B1C=2，求二面角B1-CC1-A的余弦值.

解析因为B1C=2，AB1=3，AC=1，由勾股定理逆定理可知△AB1C为直角三角形.

所以B1A⊥AC.

建立如图3所示的空间直角坐标系：由已知条件，不难得出AC=（0，1，0），AC1=（-1，1，3），B1C=（0，1，-3），CC1=（1，0，-3）.

设n1=（x1，y1，z1）为平面ACC1的法向量，

则由AC·n1=0，AC1·n1=0，

可得y1=0，x1=3z1.

设z1=1，则n1=（3，0，1）.

设n2=（x2，y2，z2）为平面B1CC1的法向量，

则由B1C·n2=0，CC1·n2=0，

可得y2=3z2，x2=3z2.

设z2=1，则n2=（3，3，1）.

设二面角B1-CC1-A的平面角为θ，则

cosθ=n1·n2|n1|·|n2|=277.

即二面角B1-CC1-A的余弦值为277.

点评解题的关键在于构建正确的空间直角坐标系，找到线、面相关的向量以及法向量，而后通过数学运算求解.

5 向量法用于解答直线与圆习题

例5已知A，B为圆x2+y2=5上的两个动点，且满足|AB|=15，点M在直线2x+y=10上运动，则|MA+MB|的最小值是.

解析因为圆的方程为x2+y2=5，所以圆的半径r=5.B9ECAC5A-1889-4DFA-AF0A-BDF4BBE34E43

又因为A，B为圆x2+y2=5上的两个动点，且满足|AB|=15，所以圆心O到线段AB的距离

d=r2-（152）2=52.

取AB的中点为点N，则点N在以原点为圆心，半径r1=52的圆上.

即其轨迹方程为x2+y2=54.

因为MA+MB=MN+NA+MN+NB，N为AB的中点，

所以NA=-NB.

所以MA+MB=2MN.

则圆心到直线2x+y=10的距离

d1=25.

则点N到点M的最短距离|MN|=d1-r1=25-52=352.

故|MA+MB|的最小值是2|MN|=35.

点评向量法与几何知识有着密切的联系，因此，解题时应注重熟练运用向量知识并借助数形结合的思想，更加直观地寻找相关点、线段之间的关系，达到化难为易，迅速解题的目的.

6 向量法用于解答数列习题例6已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OC=（an-1+an+1）OA+（1-an）OB，n≥2，n∈N*，若点A，B，C在同一直线上，则S2021的值为.

解析设AC=λAB，所以AO+OC=λAO+λOB.所以OC=（1-λ）OA+λOB.

所以an-1+an+1=1-λ，1-an=λ.

所以an-1+an+1+1-an=1.

所以an-1+an+1=an，an+an+2=an+1，an-1+an+1+an+2=an+1.

则an-1+an+2=0，an+an+3=0，an+3+an+6=0.

所以an=an+6.

数列{an}是以6为周期的数列，因为a1=a2=1，所以a3=a2-a1=0，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-1，a6=a5-a4=0.

所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.

因为2021=6×336+5，

所以S2021=S5=0.

点评向量常作为工具解答高中数学相关习题，尤其当遇到向量与数列相结合的习题时，应注重积极联系所学的向量结论迅速地找到解题切入点.

7 向量法用于解答圆锥曲线习题

例7已知雙曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段M，N上的动点，当PF1·PF2取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则S2S1的值为.

解析由双曲线离心率定义可知，

ca=1+（ba）2=2.

所以ba=3.

所以直线MN的方程为y=3（x+a）.

设点P（t，3（t+a）），t∈[-a，0]，易得到F1（-c，0），F2（c，0）.

所以PF1=（-c-t，-3（t+a）），PF2=（c-t，-3（t+a））.

所以PF1·PF2=4（t+34a）2-134a2.

因为t∈[-a，0]，所以当t=-34a时，PF1·PF2取得最小值，此时点P的纵坐标为ymin=3a4;

当t=0时，PF1·PF2取得最大值，此时点P的纵坐标为ymax=3a.

因为S△PF1F2=12·|F1F2|·yP，

所以S2S1=ymaxymin=4.

点评运用向量法解答圆锥曲线习题并注重灵活运用向量的相关运算，同时还应注重对要求解的结果进行适当地转化，运用换元法降低计算复杂度，确保问题得以顺利突破.

参考文献：

[1] 徐波.探讨向量法在高中数学解题中的应用[J].试题与研究，2020（06）：24.

[2] 官良燕.例析向量法在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化（学习研究），2019（06）：13.

[3] 吴丽端.向量法在高中数学解题中的应用策略[J].数理化解题研究，2021（22）：49-50.

[责任编辑：李璟]B9ECAC5A-1889-4DFA-AF0A-BDF4BBE34E43