例谈用换元法解题

摘要：本文总结根式换元、均值换元、整体换元、倒数换元等十种换元技巧，并举例示范应用技巧，意在提高学生的数学素养.

关键词：根式换元;增量换元;均值换元;整体换元;倒数换元

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0013-04

收稿日期：2021-12-05

作者简介：刘大鹏（1971.10-），男，辽宁省黑山人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

1 根式换元

例1（自编题）求函数y=x+31-2x的值域.

解析令t=1-2x≥0，则x=1-t22≤12.

所以y=-t22+3t+12

=-12t-32+5≤5.

所以值域為（-

SymboleB@

，5].

小结对形如y=ax+b+kcx+d（a，b，k，c，d为常数，k≠0，c≠0）的值域问题，常令t=cx+d转化为有条件的二次函数最值问题.

2 增量换元

例2（自编题）设x≥0，y≥0，3x+y≤6，x+3y≤6，求u=2x+3y的最大值.

解析设t=6-3x+y，s=6-x+3y，

则t≥0，s≥0.

将x，y视为主元，解方程组得

x=1812-3t+s，

y=1812-3s+t.

故u=2812-3t+s+3812-3s+t

=152-38t-s8≤152.

所以umax=152.

评注用增量换元法解决线性规划问题新颖、简易，不需要繁琐的作图过程.

3 均值换元

例3（自编题）已知：fx=4x+1-13，

gx=4x+1-33，fx0+gx0=72，求：fx0·gx0的值.

解析设u=4x+1-1+4x+1-32=4x+1-2，

记u0=4x0+1-2，

所以u0u20+3=39+3.

所以u0=3，4x0+1=5.

所以fx0=64，gx0=8，fx0gx0=512.

4 整体换元

例4已知：x>0，y>0，求二元函数Fx，y=2x2+3y2+5x+y的最小值.

解析令2x2+3y2+5x+y=t，

所以2x2-tx+3y2-ty+5=0.

即2x-t42+3y-t62=t28+t212-5≥0.

所以t≥26，Fx，ymin=26.

5 倒数换元

例5（数学通讯2010年问题7）设a，b，c为正数，且1a+1b+1c≥abc.

求证：a2+b2+c2≥427abc.

证明令x=1a，y=1b，z=1c，已知化为

x，y，z>0，xyzx+y+z≥1.

结论化为yzx+xzy+xyz≥427.

因为1≤xyz（x+y+z）≤x+y+z433，

所以x+y+z≥427.

故yzx+xzy+xyz

=x2zy+yz+y2zx+xz+z2yx+xy

≥x+y+z≥427.

6 分母换元

例6（2005年湖南省预赛试题）若正数a，b，c满足ab+c=ba+c-ca+b，求证：ba+c≥17-14.

证明令a+b=x，b+c=y，c+a=z，

则a=x+z-y2，b=x+y-z2，c=y+z-x2.

所以ba+c=x+y-z2z

=x+z-y2y+y+z-x2x

=12xy+yx+zy+zx-1

≥2zx+y.

令x+y2z=t，t-1t-12≥0，

所以t≥17+14.

所以ba+c=t-12≥17-14.

7 差量换元

例7已知函数fx=xex，fx1=fx2，x1≠x2，求证：x1+x2>2.

证明f ′x=1-xex，fx在-

SymboleB@

，1上单调递增，在1，+

SymboleB@

上单调递减，limx→+

SymboleB@

fx=limx→+

SymboleB@

1ex=0.

不妨设0

令t=x2-x1>0，

因为

x1ex1=x2ex2，x2x1=ex2-x1=et，

所以x2=x1et，x1et-1=t.

所以x1=tet-1，x2=tetet-1.

令Kt=tet+1et-1，

则K′t=et+1+tetet-1et-12-tet+1etet-128C7ACC56-512C-4D24-9224-877FA81BD53B

=e2t-2tet-1et-12.

令Mt=e2t-2tet-1，

则M′t=2e2t-2et-2tet=2et[et-t+1]≥0.

所以Mt>M0=0.

所以K′t>0.

所以x1+x2=Kt>K0=limt→0et+1+tetet=2.

8 和差换元

例8（1993年全国联赛题）实数x，y且4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax+1Smin=.

解法1令x=m+n，y=m-n，

代入已知，得3m2+13n2=5.

令m=53cosθ，n=513sinθ，

所以S=2m2+n2=1013+10039cos2θ.

所以1013≤S≤103，1Smax+1Smin=85.

9 比值换元

例8解法2当x≠0时，令k=yx，则

S=5x2+y24x2-5xy+4y2=5+5k24-5k+4k2，

4S-5k2-5Sk+4S-5=0.

當4S-5=0时， y=0或x=0;

当4S-5≠0时，

Δ=25S2-44S-52=13S-1010-3S≥0，

所以1013≤S≤103，且S≠54.

综上，1013≤S≤103，1Smax+1Smin=85.

例9（数学通报问题1752）a，b，c>0，求证：a2+3b2a+b2+3c2b+c2+3a2c≥6.

证明设x=ba，y=cb，z=ac，则xyz=1.

左=1+3x2+1+3y2+1+3z2

=xyz+x+x+x+yxz+y+y+y

+zxy+z+z+z

≥x44x2+y44y2+z44z2

=2x34+y34+z34

≥63xyz34=6.

比值换元还常用于解决极值点偏移问题.

例10（自编题）已知函数fx=lnxx，fx1=fx2且x1≠x2，求证：x1+x2>2e.

证明f ′x=1-lnxx2，fx在0，e上单调递增，在e，+

SymboleB@

上单调递减，limx→+

SymboleB@

fx=limx→+

SymboleB@

1x=0.

不妨设11，

则lnx1x1=lnx2x2.

即lnx2lnx1=x2x1=t.

所以lnt+lnx1lnx1=t，t-1lnx1=lnt.

所以x1=elntt-1，x2=telntt-1.

令Kt=t+1elntt-1，

则K′t=elntt-1+t+1elntt-1t-1t-lntt-12

=elntt-1t（t2-2t+1）+t2-1-t2+tlnttt-12

=elntt-1t3-t2+t-1-t2+tlnttt-12.

令Mt=t3-t2+t-1-t2+tlnt，

则M′t=3t2-2t+1-2t+1lnt-t-1

=3t（t-1）-2t+1lnt

≥3tt-1-2t+1t-1

=t-12>0，

Mt>M1=0，

所以K′t>0.

所以x1+x2=Kt>K1=limt→1t+1e1t=2e.

10 三角换元法

例8解法3令x=Scosθ，y=Ssinθ，

代入已知，得S=54-52sin2θ.

所以1013≤S≤103，1Smax+1S

min=85.

方法小结对条件式x-a2+y-b2=R2，可设

x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ;

对条件式x2a2+y2b2=1，可设x=acosθ，y=bsinθ;

对条件式x2a2-y2b2=1，可设x=asecθ，y=btanθ.

例11已知数列an中，a1=1，an+1=3an-1an+3，求a2009.

文[5]解答有误，本文加以修正.

解析

由an+1=3an-1an+3，得

an+1=an-331+33an.

令an=tanθn，θ1=π4，

则tanθn+1=tanθn-tanπ61+tanπ6tanθn

=tanθn-π6

=tanθn+5π6.

所以tanθn+6=tanθn+5π=tanθn.

所以an+6=an，2009=6×334+5.

所以a2009=a5=tanθ5=tanθ1+4×5π6

=tanπ4+10π3=tan7π12=-2+3.

评注本例可用不动点法先求数列通项公式，再求a2009.

例12已知a，b，c∈R+，且ab+bc+ca=1，求证：1a2+1+1b2+1+1c2+1≤94.

证明设a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，且α+β+γ=π2，α，β，γ∈0，π2.

左=cos2α+cos2β+cos2γ

=1+cos2α2+1+cos2β2+1+cos2γ2

=32+122cosα+βcosα-β+cos2γ

≤32+122cosα+β+cos2γ

=-sin2γ+sinγ+2

=-sinγ-122+94

≤94.

参考文献：

[1] 吴祥成.应用均值不等式解竞赛题[J].数学通讯，2009（Z2）：85-89.

[2] 王蓬勃.谈谈导数压轴题中的双变量问题处理方法[J].中学数学，2021（13）：52-53.

[3] 王云禄，陆权一.中学数学中几种常见的代换法[J].高中数学教与学，2004（03）：20-21.

[4] 刘康宁，党效文.利用三角代换法解竞赛题[J].数学通讯，2007（06）：40-42.

[5] 范端喜，朱华伟.三角代换在竞赛中的应用[J].数学通讯，2009（Z4）：77-80.

[6] 安振平.在阅读与反思的过程中学解题[J].数学通讯，2010（Z2）：9-11.

[责任编辑：李璟]8C7ACC56-512C-4D24-9224-877FA81BD53B