12.3 角的平分线的性质 教学设计

焦丽英

学习目标：

1.从“公路”的具体情境中，抽象出几何模型，初步感悟“具有某条件的点的特征”.

2.类比平行线，探索并证明角的平分线的性质.

3.在探索活动中，体会合情推理的作用，理解模型思想、集合思想.

4.通过对定理证明的一般步骤的梳理，体会数学的严谨性，发展逻辑推理能力.

学习重难点：

重点：探索并证明角的平分线的性质

难点：证明以文字形式给出的角的平分线的性质

学习活动设计：

一、借助情境，发现问题

情境1：秋天的中国是色彩斑斓的、最美的，国庆节期间，有很多人会出去旅游，欣赏祖国的大好河山。在旅游图中拍了这样一张照片，公路两上的两条白线互相平行，最中间一条黄线的位置是如何确定的？

师生活动：学生观察图片后，从实际情境中抽象出数学问题，画出图形，并确定黄线的位置.教师适当追問，引导学生分析“中间的线”“到两平行线距离相等的点”之间的关系，明确应从两个角度去探究问题.

【活动1】画出两平行线间的“中间的线”并简要记录画图步骤.

设计意图：通过实际情境引入，激发了学生的学习兴趣;借助情境，学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，从更易于理解的平行线间“中间的线”开始探究起，逐步分析出两个猜想，既要研究直线上所有的点都满足一定条件，还要研究满足特定条件的所有的点都在直线上，既为下一个环节探究角的平分线的性质做了铺垫，又让学生获得一定的研究经验.

二、问题变式，类比探究

情境2：如果公路很长很长，则抽象成一个角，这时你还能找到中间的线么？

问题1：当两直线不平行时，“中间的线”还存在吗？它有名字吗？

问题2：角的平分线有与“中间的线”有相类似的性质吗？

【活动2】提出关于角的平分线的猜想.

类比两平行线间“中间的线”的猜想，提出角的平分线的两条猜想：猜想1——角的平分线上的点到角的两边的距离相等;猜想2——角的内部到角的两边距离相等点在角的平分线上.

设计意图：情境由两条平行的直线变为一个角，学生能够在这种特殊到一般的变化中，主动的运用类比的方法，较为顺利地提出对角的平分线的性质的两条猜想.

三、证明猜想，归纳小结

【活动3.1】将命题1改写成符号语言.

分析命题1的条件和结论，明确命题1的研究对象是线上的点;借助量角器，画出角的平分线，再将命题的条件、结论分别用符号语言表述出来.教师展示学生的作图，并请一名学生简要描述自己的作图步骤，师生共同辨析得出大家都认可的一种恰当的表述.

设计意图：学生经历猜想——画图——改写——证明这一系列探究的过程，初步获得研究几何问题的方法和步骤.

在将命题的文字表述转化成符号语言的过程中，学生可能会出现不同的理解.

预设1：已知，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证：PD=PE.

预设2：已知，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上.求证：PD=PE.

预设3：已知，如图，射线OC平分角∠AOB，点P在射线OC上.求证：点P到OA、OB的距离相等.

学生在将文字改写成符号语言时，对于如何描述距离出现不同的理解，教师引导学生分析几名同学的改写，确定预设1中的书写是最为恰当的表述.

【活动3.2】完成命题1的证明过程.

学生独立完成命题1证明过程，在黑板上板演证明的完整过程.

【活动3.3】师生共同归纳证明一个几何命题的一般步骤：阅读命题——分析条件和结论——画出图形——写成符号语言——完成证明.

【活动3.4】独立完成命题2的证明.

四、拓展探究，提高能力

【活动4.1】探究角平分线的画法.

【活动4.2】拓展作业

特色学习资源分析，技术手段应用说明：

本节课的教学重点是角的平分线的两条性质定理的探究及证明，角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合，为了让学生能够对角的平分线有更加深刻和完整的理解，教师设计了充分的活动.

首先在情境引入环节，教师没有直接引入角和角的平分线，而是先由一个实际情境引出了学生更易理解的两平行线和两平行线间的“中间的线”，引导学生提出“中间的线”的两条猜想，再画图说明;再将平行线变为相交线，通过类比“中间的线”的研究思路，再来探究角的平分线，分散了角的平分线的性质探究的难点，对提升学生思维有很大的帮助，这种设计思路非常新颖.

教师引导学生从充分性和必要性两个角度去提出猜想，在整个授课的过程中也都在不断渗透这种集合思想，很好的训练了学生思维，对以后数学学习起着很重要的作用.

教师在授课前，对八年级的学生进行了充分的调研和学情分析，基于学生的问题，设计学生活动，有的放矢，课堂上让学生充分的参与和展示，真正的做到了以学生为本.