以某线段为直径的圆过定点问题的解法探究

雷 誉

(湖北省咸宁市青龙山高级中学)

圆锥曲线是高中数学重要知识之一,定点问题是圆锥曲线的重难点,通常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体.解答这类问题的过程中,既有探索性的历程,又有严密的逻辑推理和复杂的运算,渗透了函数与方程、化归与转化以及数形结合等思想,能较好地考查学生的逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力.下面通过一道例题给出解决圆锥曲线中以某线段为直径的圆过定点问题的两大方法.

1)特殊推理法

特殊推理法是指先从特殊情况入手,如直线平行于坐标轴、点在坐标轴上等,根据题干进行分析,通过推理求出定点,然后探究除特殊情况外的一般情况,证明定点与变量无关.

2)参数法

参数法是指通过适当引入变量或参数,设出点的坐标或直线方程,列出定点所满足的关系,最后进行消参、化简得出定点.

题目如图1所示,已知⊙A:x2＋y2＋4x-20＝0,直线l过点B(2,0)且与⊙A交于C,D两点,过点B作直线AC的平行线交AD于点E.

图1

(1)求证:|EA|＋|EB|为定值,并求点E的轨迹T的方程;

(2)设动直线n:y＝kx＋m与T相切于点P,且与直线x＝3交于点Q,在x轴上是否存在定点M(t,0),使得以PQ为直径的圆恒过定点M.若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.

(1)⊙A:(x＋2)2＋y2＝24,r＝,因为|AC|＝|AD|,所 以∠ACD＝∠ADC,又BE∥AC,所以∠EBD＝∠EDB,所以|EB|＝|ED|,故

所以点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a＝2c＝4,所以b2＝a2-c2＝2,故T的方程为

(2)思路1先猜想点M存在,取椭圆的上顶点P或取直线x＝3与x轴的交点Q,将以PQ为直径的圆的方程表示出来,然后求出圆与x轴的交点(定点),最后对该点给出一般情况下的证明.

因为直线和椭圆相切,所以

整理得m2＝2(1＋3k2).设P(x0,y0),则

所以以PQ为直径的圆恒过定点M(2,0).

从特殊点入手去探究定点的可能情形,再利用直径所对圆周角是直角,将问题转化为证明向量数量积为零,进而完成定点在圆上的证明过程.用特殊值法先找出定点,然后再证明定点在曲线上,是解决解析几何定点问题的常用方法,这也是研究数学的一个重要方法:先猜想再验证.另外,若圆上一条直径的两个端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则此圆的方程为(x-x1)(x-x2)＋(y-y1)(yy2)＝0.

思路2设出点P(或Q)的坐标,引入参数表示在点或过点的切线方程,找到另一点Q(或P)的坐标,进而得到以PQ为直径的圆的方程,设而不求找到定点.

因为直线和椭圆相切,所以

方法3利用椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为＝1,快速找到点Q的坐标,有效地简化了计算,而方法4设出点Q和过点Q的切线方程,联立椭圆方程和切线方程,利用Δ＝0和根与系数的关系找到切点P的坐标,计算较烦琐.

思路3设线,通过联立直线和椭圆方程,利用判别式判断相切关系,求出点的坐标,再通过圆的方程找到定点,或运用向量思想推导出定点是否合理.

因为直线和椭圆相切,所以

整理得m2＝2(1＋3k2).设P(x0,y0),则

探索曲线过定点的问题,先将定点的曲线方程表示为某参数的曲线系方程的形式,再证明该方程与参数无关.得到有关定点坐标的方程组,方程组的解就是所求的定点.方法6避开圆的方程,将以PQ为直径的圆恒过定点M(t,0)转化成·＝0,直接得到关于t的方程组,找到定点.

变式以某线段为直径的圆恒过一点作为条件.

参数法有其他表达形式,如设直线l:y＝kx＋t,利用条件式转化出k与t的关系式,从而得到定点,还可将直线AM:y＝与椭圆方程联立得到点M的坐标,用-替换k可得点N的坐标,最后用两点式方程表示直线l找出定点.

通过对一道题目进行充分的探讨和钻研,我们总会有意想不到的发现,不仅能改进这个问题的解答,还能提高自己对这个解答的理解.解决圆锥曲线定点问题的方法很多,比如特殊探路找点、设点、设直线等.运用坐标法、代数思想、几何知识逐步将题目中的条件进行转化求定点,注重考查学生对基本知识、基本技能的理解和掌握,强化公式、法则的运用,有效提升学生思维的深刻性、灵活性和创造性.

(完)