探究一道以函数f(x)＝为背景的高考导数问题

邢耀田

(甘肃省白银市第十一中学)

熟悉函数f(x)＝((h(x)＝ax2＋bx＋c(a,b不能同时为0),h(x)≠0)的图像特征,做到对图1和图2中两个特殊函数的图像“心中有数”.

图1

图2

本文以2021年全国甲卷理科21题为研究对象,问题的解决,要能够正确研究函数f(x)＝的单调性和值域.

1 引例

例(2021年全国甲卷理21)已知a＞0且a≠1,函数f(x)＝(x＞0).

(1)当a＝2时,求f(x)的单调区间;

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点,求a的取值范围.

(1)写出a＝2时f(x)的解析式,再求导,利用导数与单调性的关系求解即可.

(2)将已知转化为f(x)＝1在(0,＋∞)上有两个不相等的实根,变形可得令g(x)＝,利用导数求出g(x)的单调性,画出g(x)的大致图像,即可求解a的取值范围.

由题知f(x)＝1在(0,＋∞)上有两个不相等的实根,f(x)＝1⇔alnx＝xlna⇔令g(x)＝,则g′(x)＝,g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,＋∞)上单调递减,又＝-∞,g(e)＝,g(1)＝0,(x)＝0,作出g(x)的大致图像,如图3所示,由图像可得0＜,解得a＞1 且a≠e,即a的取值范围是(1,e)∪(e,＋∞).

图3

本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查转化思想与运算求解能力,本题看似与函数f(x)＝无关,但需要引起注意的是很多问题都需要经过简单的变形才能揭开问题本质,使得问题顺利求解.

变式设函数f(x)＝xlnx-＋a-x(a∈R).

(1)若函数f(x)有两个不同的极值点,求实数a的取值范围;

(2)若a＝2,k∈N,g(x)＝2-2x-x2,且当x＞2时,不等式k(x-2)＋g(x)＜f(x)恒成立,试求k的最大值.

(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝lnx-ax,令f′(x)＝0,可得a＝,令h(x)＝(x＞0),则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图像有两个不同的交点.h′(x)＝,令h′(x)＝0,得x＝e,可知h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,＋∞)上单调递减,hmax(x)＝h(e)＝,且知(x)＝-∞(x)＝0,故实数a的取值范围为(0,).

(2)当a＝2 时,f(x)＝xlnx-x2＋2-x,k(x-2)＋g(x)＜f(x),即k(x-2)＋2-2x-x2＜xlnx-x2＋2-x,整理得k(x-2)＜xlnx＋x.因为x＞2,所以k＜

令m(x)＝x-4-2lnx(x＞2),则m′(x)＝1-＞0,所以m(x)在(2,＋∞)上单调递增,m(8)＝4-2ln8＜4-2lne2＝4-4＝0,m(10)＝6-2ln10＞6-2lne3＝6-6＝0,所以函数m(x)在(8,10)上有唯一的零点x0,即x0-4-2lnx0＝0,故当2＜x＜x0时,m(x)＜0,即F′(x)＜0,当x＞x0时,F′(x)＞0,所 以Fmin(x)＝F(x0)＝,所以k＜,因为x0∈(8,10),所以(4,5),故k的最大值为4.

2 方法总结

对于含有x与lnx的函数问题,首先要能够熟练掌握导数的公式和导数的求导法则,这里既包括导数的运算法则,又包括复合导数的求导法则,因为这是研究函数性质的基础和前提.在此之下,还需要灵活利用导数研究函数的单调性、极值和最值.

通过高考真题和变式问题不难发现,其实仅仅通过试题所给的函数并不能够看出需要对函数f(x)＝进行研究,因此在研究导数问题时,要能够恰当地构造函数,并对所给函数的区间进行恰当且准确的分类,并在每一类上进行合理的讨论.若是遇到证明题或是有关不等式的求解问题,还需要找寻合理的解决策略.

3 知识脉络

通过以上分析,不难发现,学习导数问题要能够掌握导数的概念及求导法则,能够利用导数研究函数的单调性、极值与最值,对于实际问题还要能够根据实际背景转化成数学模型进行建模求解.为了使得导数知识更加直观地呈现出来,可以通过思维导图梳理,如图4所示.

图4

(完)