张艳娜 王树文
(1.北京汇文中学朝阳垂杨柳分校 2.北京市日坛中学)
三角函数是高中数学中重要内容,在历年的高考、校考(强基)、竞赛中占有重要的地位.三角公式多,变换灵活多样,既有通式通法,也有独辟蹊径,有些题目更具有一定的规律性,本文通过一题、揭示一类正弦二次齐次式的求值的变换方法与推广.
题目sin2100°-sin50°sin70°=_____.
解法1公式法1
当然,也可以都化为余弦,过程略有不同.此时有
第一个式子降幂后得到20°的角,正好是后面70°和50°角的差,这样,很自然想到利用两角和差公式进行化简,是常规思路.
解法2公式法2
利用二倍角正弦的降幂公式、积化和差公式,将高次化为低次,进行同级加减化简,也是化简三角式的常规方法.
解法3构造三倍角
根据三角式与角的特征利用三倍角公式sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)构造特殊角化简.
解法4构造对偶式
设a=cos210°-sin50°sin70°,b=sin210°-cos50°cos70°,则a+b=1-cos20°,a-b=cos20°-相加得a=
在数学竞赛中,类似sin10°sin50°sin70°这样的式子,有三种思路可以化简:第一种利用三倍角公式sin3α=sinαsin(60°-α)sin(60°+α)构造特殊角,进行化简运算;第二种化为余弦,构造二倍角公式化简;第三种化为对偶式进行运算.
解法5构造三角形
如图1所示,由
图1
结合图形可得
从而原式可化为
在图2 所示的△ABC中,只要α是特殊角均可求得sin2(α+β)-sinβ·sin(2α+β)的值,其值为sin2α.
图2
本文通过求解一个正弦的齐次求值问题,根据关系式与角度特征,既能灵活应用三角公式求值,又能通过构造完成求解,同时由特殊推广到一般,体现了一题多解思路以及数形结合思想.
通过对此题的挖掘,我们对三角函数求值的方法进行更深入的思考,既可以从代数角度—“角的转化”,也可从几何角度—“形的构造”解决问题,进而由特殊探究推广到一般结论,发现新方法,解决新问题.
(完)